Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 531

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 531

Вычислить пределlim⁡x→aln⁡x−ln⁡ax−a,a>0\lim_{x\to a}\frac{\ln x-\ln a}{x-a},
\qquad a>0
Ответ:1a\dfrac1a

Решение

Положим t=(x−a)/at=(x-a)/a. Тогда t→0t\to0, x=a(1+t)x=a(1+t), иln⁡x−ln⁡ax−a=ln⁡xax−a==ln⁡(1+t)at=1a⋅ln⁡(1+t)t⟶1a\begin{aligned}
\frac{\ln x-\ln a}{x-a}
&=\frac{\ln\frac{x}{a}}{x-a}=\\
&=\frac{\ln(1+t)}{at}
=\frac1a\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}
\longrightarrow\frac1a
\end{aligned}
Демидович № 531 — решение и ответ