Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 573

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 573

Найти пределlim⁡x→0(2ex/(x+1)−1)(x2+1)/x\lim_{x\to0}
\left(2e^{x/(x+1)}-1\right)^{(x^2+1)/x}
Ответ:e2e^2

Решение

Положим v=x/(x+1)v=x/(x+1) и u=2(ev−1)u=2(e^v-1). Тогда v→0v\to0, u→0u\to0, а основание исходной степени равно 1+u1+u и положительно около нуля. Обозначим степень через yy.
При малом x≠0x\ne0 значения v,uv,u ненулевые. Логарифмируем и выделяем пределы из №529 и №541:ln⁡y=\displaystyle \ln y\mathrel{=}x2+1xln⁡(1+u)=\displaystyle \frac{x^2+1}{x}\ln(1+u)\mathrel{=}(x2+1)ln⁡(1+u)u 2ev−1vvx=\displaystyle (x^2+1)\frac{\ln(1+u)}u\,2\frac{e^v-1}{v}\frac vx\mathrel{=}(x2+1)ln⁡(1+u)u 2ev−1v1x+1⟶1⋅1⋅2⋅1⋅1=\displaystyle (x^2+1)\frac{\ln(1+u)}u\,2\frac{e^v-1}{v}\frac1{x+1}
\longrightarrow1\cdot1\cdot2\cdot1\cdot1\mathrel{=}2.\displaystyle 2.Следовательно, y→e2y\to e^2.