Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 573

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 573

Найти пределlim⁡x→0(2ex/(x+1)−1)(x2+1)/x\lim_{x\to0}
\left(2e^{x/(x+1)}-1\right)^{(x^2+1)/x}
Ответ:e2e^2

Решение

Идея

Обозначим исходное выражение через y(x)y(x). Поскольку
2ex/(x+1)−1→12e^{x/(x+1)}-1\to1, при достаточно малых ∣x∣|x| основание
положительно и выражение можно прологарифмировать. Кроме того,

Проверка

xx+1=x+o(x)ex/(x+1)−1∼x\begin{aligned}
\frac{x}{x+1}=x&+o(x)\\
e^{x/(x+1)}-1&\sim x
\end{aligned}Поэтомуln⁡y(x)=x2+1xln⁡(1+2(ex/(x+1)−1))==x2+1x 2x (1+o(1))⟶2\begin{aligned}
\ln y(x)
&=\frac{x^2+1}{x}
\ln\left(1+2\left(e^{x/(x+1)}-1\right)\right)=\\
&=\frac{x^2+1}{x}\,
2x\,(1+o(1))
\longrightarrow2
\end{aligned}Следовательно, y(x)→e2y(x)\to e^2.
Демидович № 573 — решение и ответ