Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 532

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 532

Вычислить пределlim⁡x→+∞[sin⁡ln⁡(x+1)−sin⁡ln⁡x]\lim_{x\to+\infty}[\sin\ln(x+1)-\sin\ln x]
Ответ:00

Решение

Для любых действительных uu и vv выполняется неравенство
∣sin⁡u−sin⁡v∣⩽∣u−v∣|\sin u-\sin v|\leqslant|u-v|. Поэтому
∣sin⁡ln⁡(x+1)−sin⁡ln⁡x∣⩽∣ln⁡(x+1)−ln⁡x∣=ln⁡(1+1x)⟶0\begin{aligned}
|\sin\ln(x+1)-\sin\ln x|
&\leqslant|\ln(x+1)-\ln x|\\
&=\ln\left(1+\frac1x\right)
\longrightarrow0
\end{aligned}По теореме о двух милиционерах искомый предел равен нулю.