Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 572

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 572

Найти пределlim⁡x→0cos⁡(xex)−cos⁡(xe−x)x3\lim_{x\to0}
\frac{\cos(xe^x)-\cos(xe^{-x})}{x^3}
Ответ:−2-2

Решение

По формуле разности косинусовcos⁡(xex)−cos⁡(xe−x)=−2sin⁡(xex+e−x2)sin⁡(xex−e−x2).\cos(xe^x)-\cos(xe^{-x})
=-2\sin\left(x\frac{e^x+e^{-x}}2\right)
\sin\left(x\frac{e^x-e^{-x}}2\right).Полученные полусумма и полуразность — это ch⁡x\operatorname{ch}x и sh⁡x\operatorname{sh}x. Из их определений и №541ch⁡x⟶1,sh⁡xx=12(ex−1x+e−x−1−x)⟶12(1+1)=1.\operatorname{ch}x\longrightarrow1,
\qquad
\frac{\operatorname{sh}x}x
=\frac12\left(\frac{e^x-1}x+\frac{e^{-x}-1}{-x}\right)
\longrightarrow\frac12(1+1)=1.В частности, оба аргумента синусов стремятся к нулю. При малом x≠0x\ne0 они ненулевые. Делим и умножаем на эти аргументы:cos⁡(xex)−cos⁡(xe−x)x3=−2sin⁡(xch⁡x)xch⁡xsin⁡(xsh⁡x)xsh⁡xch⁡xsh⁡xx.\frac{\cos(xe^x)-\cos(xe^{-x})}{x^3}
=-2\frac{\sin(x\operatorname{ch}x)}{x\operatorname{ch}x}
\frac{\sin(x\operatorname{sh}x)}{x\operatorname{sh}x}
\operatorname{ch}x\frac{\operatorname{sh}x}{x}.Каждый из четырёх множителей после −2-2 стремится к 11. Ответ: −2-2.