Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 572

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 572

Найти пределlim⁡x→0cos⁡(xex)−cos⁡(xe−x)x3\lim_{x\to0}
\frac{\cos(xe^x)-\cos(xe^{-x})}{x^3}
Ответ:−2-2

Решение

Идея

Числитель равен −2sin⁡(xch⁡x)sin⁡(xsh⁡x)-2\sin(x\operatorname{ch} x)\sin(x\operatorname{sh} x)
по формуле разности косинусов.
При x→0x\to0 имеем ch⁡x→1\operatorname{ch} x\to1, sh⁡x∼x\operatorname{sh} x\sim x и
sin⁡u∼u\sin u\sim u. Следовательно,
cos⁡(xex)−cos⁡(xe−x)x3=−2sin⁡(xch⁡x)xch⁡x sin⁡(xsh⁡x)xsh⁡x ch⁡xsh⁡xx⟶−2\begin{aligned}
\frac{\cos(xe^x)-\cos(xe^{-x})}{x^3}
&=-2\frac{\sin(x\operatorname{ch} x)}{x\operatorname{ch} x}\,
\frac{\sin(x\operatorname{sh} x)}{x\operatorname{sh} x}\,
\operatorname{ch} x\frac{\operatorname{sh} x}{x}
\longrightarrow-2
\end{aligned}
Демидович № 572 — решение и ответ