Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 566

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 566

Найти пределы:а) lim⁡x→0ln⁡(x2+ex)ln⁡(x4+e2x)б) lim⁡x→+∞ln⁡(x2+ex)ln⁡(x4+e2x)\begin{aligned}
\text{а) }&\lim_{x\to0}
\frac{\ln(x^2+e^x)}{\ln(x^4+e^{2x})}\\
\text{б) }&\lim_{x\to+\infty}
\frac{\ln(x^2+e^x)}{\ln(x^4+e^{2x})}
\end{aligned}

Опирается на

Ответ:а) 12\frac12б) 12\frac12

Решение

В обоих пунктах удобно вынести экспоненты:ln⁡(x2+ex)=x+ln⁡(1+x2e−x),ln⁡(x4+e2x)=2x+ln⁡(1+x4e−2x).\ln(x^2+e^x)=x+\ln(1+x^2e^{-x}),\qquad
\ln(x^4+e^{2x})=2x+\ln(1+x^4e^{-2x}).Пункт а). При x→0x\to0 обозначим u=x2e−xu=x^2e^{-x}, v=x4e−2xv=x^4e^{-2x}. Обе величины стремятся к нулю. С функцией LL из №554ln⁡(1+u)x=L(u) xe−x⟶0,ln⁡(1+v)x=L(v) x3e−2x⟶0.\frac{\ln(1+u)}x=L(u)\,xe^{-x}\longrightarrow0,
\qquad
\frac{\ln(1+v)}x=L(v)\,x^3e^{-2x}\longrightarrow0.Значит, после деления обоих логарифмов на xx их отношение имеет вид1+ln⁡(1+u)/x2+ln⁡(1+v)/x⟶12.\frac{1+\ln(1+u)/x}{2+\ln(1+v)/x}\longrightarrow\frac12.Пункт б). При x→+∞x\to+\infty по №564 x2e−x→0x^2e^{-x}\to0 и x4e−2x→0x^4e^{-2x}\to0. Оба добавочных логарифма стремятся к нулю; после деления на xx они также стремятся к нулю. То же нормированное отношение даёт 1/21/2.

Ответ

а) 1/2;б) 1/2\text{а) }1/2;\quad\text{б) }1/2.