Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 566

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\begin{aligned} \text{а) }&\lim_{x\to0} \frac{\ln(x^2+e^x)}{\ln(x^4+e^{2x})}\\ \text{б) }&\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x^2+e^x)}{\ln(x^4+e^{2x})}\end{aligned}

Ответ:

\frac12

\frac12

Решение

1
Пункт а)
При $x\to0$ имеем $\begin{aligned} x^2+e^x &=1+x+O(x^2)\\ x^4+e^{2x} &=1+2x+O(x^2)\end{aligned}$ Так как $\ln(1+u)\sim u$ при $u\to0$ , то $\frac{\ln(x^2+e^x)}{\ln(x^4+e^{2x})} \sim\frac{x}{2x}\longrightarrow\frac12$

Проверка

б) При

x\to+\infty

вынесем экспоненциальные слагаемые:

\begin{aligned} \ln(x^2+e^x) &=x+\ln(1+x^2e^{-x})\\ \ln(x^4+e^{2x}) &=2x+\ln(1+x^4e^{-2x})\end{aligned}

По результату задачи №564 добавочные величины внутри логарифмов
стремятся к нулю. Следовательно, отношение логарифмов стремится к

\dfrac12