Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 552

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 552

Вычислить пределlim⁡n→∞n(xn−1),x>0\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt[n]{x}-1\right),
\qquad x>0
Ответ:ln⁡x\ln x

Решение

Идея

Если x=1x=1, выражение тождественно равно нулю. Пусть x≠1x\ne1.
Представим корень в показательной форме:
xn=eln⁡xn\sqrt[n]{x}=e^{\frac{\ln x}{n}}Тогдаn(xn−1)=n(eln⁡xn−1)==ln⁡x⋅eln⁡xn−1ln⁡xn⟶ln⁡x\begin{aligned}
n\left(\sqrt[n]{x}-1\right)
&=n\left(e^{\frac{\ln x}{n}}-1\right)=\\
&=\ln x\cdot
\frac{e^{\frac{\ln x}{n}}-1}{\frac{\ln x}{n}}
\longrightarrow\ln x
\end{aligned}При x=1x=1 полученная формула также даёт нуль.
Демидович № 552 — решение и ответ