Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 537

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 537

Вычислить пределlim⁡h→0log⁡(x+h)+log⁡(x−h)−2log⁡xh2,x>0\lim_{h\to0}
\frac{\log(x+h)+\log(x-h)-2\log x}{h^2},
\qquad x>0
Ответ:−log⁡ex2-\dfrac{\log e}{x^2}

Решение

При достаточно малом ∣h∣|h| числа x+hx+h и x−hx-h положительны.
Объединим логарифмы:
log⁡(x+h)+log⁡(x−h)−2log⁡x=\displaystyle \log(x+h)+\log(x-h)-2\log x\mathrel{=}log⁡(x+h)(x−h)x2=\displaystyle \log\frac{(x+h)(x-h)}{x^2}\mathrel{=}log⁡(1−h2x2)\displaystyle \log\left(1-\frac{h^2}{x^2}\right)Положим u=−h2/x2u=-h^2/x^2. Тогда u→0u\to0, иlog⁡(1−h2x2)h2=\displaystyle \frac{\log\left(1-\frac{h^2}{x^2}\right)}{h^2}\mathrel{=}log⁡(1+u)u⋅uh2=\displaystyle \frac{\log(1+u)}{u}\cdot\frac{u}{h^2}\mathrel{=}log⁡e⋅ln⁡(1+u)u(−1x2)⟶−log⁡ex2\displaystyle \log e\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}
\left(-\frac1{x^2}\right)\longrightarrow-\frac{\log e}{x^2}