Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 537

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить предел

\lim_{h\to0} \frac{\log(x+h)+\log(x-h)-2\log x}{h^2}, \qquad x>0

Ответ:

-\dfrac{\log e}{x^2}

Решение

Идея

При достаточно малом

|h|

числа

x+h

x-h

положительны.
Объединим логарифмы:

\begin{aligned} \log(x+h)+\log(x-h)-2\log x &=\log\frac{(x+h)(x-h)}{x^2}=\\ &=\log\left(1-\frac{h^2}{x^2}\right)\end{aligned}

Положим

u=-h^2/x^2

. Тогда

u\to0

, и

\begin{aligned} \frac{\log\left(1-\frac{h^2}{x^2}\right)}{h^2} &=\frac{\log(1+u)}{u}\cdot\frac{u}{h^2}=\\ &=\log e\cdot\frac{\ln(1+u)}{u} \left(-\frac1{x^2}\right)\longrightarrow-\frac{\log e}{x^2}\end{aligned}