Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 571

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^2}-1}

Ответ:

\frac12

Решение

Рационализуем числитель:

\begin{aligned} \sqrt{1+x\sin x}-1 &=\frac{x\sin x}{\sqrt{1+x\sin x}+1}\end{aligned}

При

x\to0

выполняются эквивалентности

\sin x\sim x

e^{x^2}-1\sim x^2

. Поэтому

\begin{aligned} \frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^2}-1} &=\frac{x\sin x}{e^{x^2}-1} \cdot\frac1{\sqrt{1+x\sin x}+1}\longrightarrow1\cdot\frac12 =\frac12\end{aligned}