Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 571

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 571

Найти пределlim⁡x→01+xsin⁡x−1ex2−1\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^2}-1}
Ответ:12\frac12

Решение

Рационализируем числитель и выделим две стандартные нормированные дроби:
1+xsin⁡x−1ex2−1=xsin⁡x(ex2−1)(1+xsin⁡x+1)=sin⁡xxx2ex2−111+xsin⁡x+1.\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^2}-1}
=\frac{x\sin x}{(e^{x^2}-1)(\sqrt{1+x\sin x}+1)}
=\frac{\sin x}{x}\frac{x^2}{e^{x^2}-1}\frac1{\sqrt{1+x\sin x}+1}.Первый множитель стремится к 11 по первому замечательному пределу. Второй стремится к 11 по №541 с аргументом t=x2t=x^2. Последний стремится к 1/(1+1)=1/21/(1+1)=1/2. Корень определён около нуля, поскольку его аргумент стремится к 1>01>0. Поэтомуlim⁡x→01+xsin⁡x−1ex2−1=12.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^2}-1}=\frac12.