Раздел I. Введение в анализ — § 5

Демидович § 5. Предел функции

Условия, ответы и подробные решения задач 381–644

Задачи 381–644

268 из 268 с разбором

Гиперболические пределы

576–580

Задача 577

Найти пределы:а) lim⁡x→0sh⁡2xln⁡(ch⁡3x)б) lim⁡x→+∞sh⁡x2+x−sh⁡x2−xch⁡x\begin{aligned}
\text{а) }&\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}^2x}{\ln(\operatorname{ch}3x)}\\
\text{б) }&\lim_{x\to+\infty}
\frac{\operatorname{sh}\sqrt{x^2+x}-\operatorname{sh}\sqrt{x^2-x}}{\operatorname{ch} x}
\end{aligned}

Задача 578

Найти пределы:а) lim⁡x→ash⁡x−sh⁡ax−a;б) lim⁡x→ach⁡x−ch⁡ax−a;в) lim⁡x→0ln⁡ch⁡xln⁡cos⁡x\text{а) }\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{sh} x-\operatorname{sh} a}{x-a};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{ch} x-\operatorname{ch} a}{x-a};
\qquad
\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{\ln\operatorname{ch} x}{\ln\cos x}

Задача 579

Найти пределы:а) lim⁡x→+∞(x−ln⁡ch⁡x);б) lim⁡x→0esin⁡2x−esin⁡xth⁡x\text{а) }\lim_{x\to+\infty}(x-\ln\operatorname{ch} x);
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0}
\frac{e^{\sin2x}-e^{\sin x}}{\operatorname{th} x}

Задача 580

Найти пределlim⁡n→∞(ch⁡πncos⁡πn)n2\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{\operatorname{ch}\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}\right)^{n^2}

Пределы обратных тригонометрических функций

581–589

Задача 581

Найти пределlim⁡x→+∞arcsin⁡1−x1+x\lim_{x\to+\infty}\arcsin\frac{1-x}{1+x}

Задача 582

Найти пределlim⁡x→+∞arccos⁡(x2+x−x)\lim_{x\to+\infty}
\arccos\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)

Задача 583

Найти пределlim⁡x→2arctg⁡x−4(x−2)2\lim_{x\to2}\operatorname{arctg}\frac{x-4}{(x-2)^2}

Задача 584

Найти пределlim⁡x→−∞arcctg⁡x1+x2\lim_{x\to-\infty}\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Задача 585

Найти пределlim⁡h→0arctg⁡(x+h)−arctg⁡xh\lim_{h\to0}
\frac{\operatorname{arctg}(x+h)-\operatorname{arctg} x}{h}

Задача 586

Найти пределlim⁡x→0ln⁡1+x1−xarctg⁡(1+x)−arctg⁡(1−x)\lim_{x\to0}
\frac{\ln\dfrac{1+x}{1-x}}
{\operatorname{arctg}(1+x)-\operatorname{arctg}(1-x)}

Задача 587

Найти пределlim⁡n→∞[narctg⁡1n(x2+1)+x⋅tg⁡n(π4+x2n)]\lim_{n\to\infty}
\left[
n\operatorname{arctg}\frac{1}{n(x^2+1)+x}
\cdot
\operatorname{tg}^n\left(\frac\pi4+\frac{x}{2n}\right)
\right]

Задача 588

Найти пределlim⁡x→+∞x(π4−arctg⁡xx+1)\lim_{x\to+\infty}
x\left(\frac\pi4-\operatorname{arctg}\frac{x}{x+1}\right)

Задача 589

Найти пределlim⁡x→+∞x(π2−arcsin⁡xx2+1)\lim_{x\to+\infty}
x\left(\frac\pi2-
\arcsin\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)

Специальные виды пределов и предельные теоремы

590–612

Задача 590

Найти пределlim⁡n→∞[1+(−1)nn]cosec⁡(π1+n2)\lim_{n\to\infty}
\left[1+\frac{(-1)^n}{n}\right]^
{\operatorname{cosec}\left(\pi\sqrt{1+n^2}\right)}

Задача 591

Найти пределы:а) lim⁡x→01x100e−1x2;б) lim⁡x→0+xln⁡x\text{а) }\lim_{x\to0}\frac1{x^{100}}e^{-\frac1{x^2}};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0^+}x\ln x

Задача 592

Найти пределы:а) lim⁡x→−∞(x2+x−x);б) lim⁡x→+∞(x2+x−x)\text{а) }\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right);
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)

Задача 593

Найти пределы:а) lim⁡x→−∞(1+x+x2−1−x+x2)б) lim⁡x→+∞(1+x+x2−1−x+x2)\begin{aligned}
\text{а) }&
\lim_{x\to-\infty}
\left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right)
\\
\text{б) }&
\lim_{x\to+\infty}
\left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right)
\end{aligned}

Задача 594

Найтиh=lim⁡x→+∞f(x)−lim⁡x→−∞f(x)h=\lim_{x\to+\infty}f(x)-\lim_{x\to-\infty}f(x)еслиf(x)=ln⁡x+x2+a2x+x2+b2f(x)=\ln\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}
{x+\sqrt{x^2+b^2}}

Задача 595

Найти пределы:а) lim⁡x→0+arctg⁡11−x;б) lim⁡x→1+arctg⁡11−x\text{а) }\lim_{x\to0^+}\operatorname{arctg}\frac1{1-x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to1^+}\operatorname{arctg}\frac1{1-x}

Задача 596

Найти пределы:а) lim⁡x→0−11+e1x;б) lim⁡x→0+11+e1x\text{а) }\lim_{x\to0^-}\frac1{1+e^{\frac1x}};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0^+}\frac1{1+e^{\frac1x}}

Задача 597

Найти пределы:а) lim⁡x→−∞ln⁡(1+ex)x;б) lim⁡x→+∞ln⁡(1+ex)x\text{а) }\lim_{x\to-\infty}\frac{\ln(1+e^x)}x;
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^x)}x

Задача 598

Доказать, что:а) 2x1+x⟶2+0,при x→−∞б) 2x1+x⟶2−0,при x→+∞\begin{aligned}
\text{а) }&\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2+0,
&&\text{при }x\to-\infty
\\
\text{б) }&\frac{2x}{1+x}\longrightarrow2-0,
&&\text{при }x\to+\infty
\end{aligned}

Задача 599

Доказать, что:а) 2x⟶1−0,при x→0−б) 2x⟶1+0,при x→0+\begin{aligned}
\text{а) }&2^x\longrightarrow1-0,
&&\text{при }x\to0^-
\\
\text{б) }&2^x\longrightarrow1+0,
&&\text{при }x\to0^+
\end{aligned}

Задача 600

Найти f(1)f(1), f(1−0)f(1-0), f(1+0)f(1+0), еслиf(x)=x+[x]2f(x)=x+[x]^2

Задача 601

Найти f(n)f(n), f(n−0)f(n-0), f(n+0)f(n+0),
n=0,±1,…n=0,\pm1,\ldots, еслиf(x)=sgn⁡(sin⁡πx)f(x)=\operatorname{sgn}(\sin\pi x)

Задача 602

Найти пределlim⁡x→0xcos⁡1x\lim_{x\to0}x\sqrt{\cos\frac1x}

Задача 603

Найти пределlim⁡x→0x[1x]\lim_{x\to0}x\left[\frac1x\right]

Задача 604

Найти пределlim⁡n→∞sin⁡(πn2+1)\lim_{n\to\infty}\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)

Задача 605

Найти пределlim⁡n→∞sin⁡2(πn2+n)\lim_{n\to\infty}\sin^2\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)

Задача 606

Найти пределlim⁡n→∞sin⁡sin⁡⋯sin⁡⏟n разx\lim_{n\to\infty}
\underbrace{\sin\sin\cdots\sin}_{n\ \text{раз}}x

Задача 607

Еслиlim⁡x→aφ(x)=Aиlim⁡x→Aψ(x)=B\lim_{x\to a}\varphi(x)=A
\quad\text{и}\quad
\lim_{x\to A}\psi(x)=Bто следует ли отсюда, чтоlim⁡x→aψ(φ(x))=B\lim_{x\to a}\psi(\varphi(x))=BРассмотреть пример: φ(x)=1q\varphi(x)=\dfrac1q при x=pqx=\dfrac pq, где
p∈Zp\in\mathbb Z, q∈Nq\in\mathbb N, причём pp и qq взаимно
просты, и φ(x)=0\varphi(x)=0 при
иррациональном xx; ψ(x)=1\psi(x)=1 при x≠0x\ne0 и ψ(0)=0\psi(0)=0,
причём x→0x\to0

Задача 608

Доказать теоремы Коши: если функция f(x)f(x) определена в интервале
(a,+∞)(a,+\infty) и ограничена в каждом конечном интервале (a,b)(a,b), тоа) lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞[f(x+1)−f(x)]\text{а) }\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x
=\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]б) lim⁡x→+∞[f(x)]1x=lim⁡x→+∞f(x+1)f(x)(f(x)⩾C>0)\text{б) }\lim_{x\to+\infty}[f(x)]^{\frac1x}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x+1)}{f(x)}
\qquad (f(x)\geqslant C>0)предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют

Задача 609

Доказать, что если функция f(x)f(x) определена при x>ax>a, ограничена
в каждой конечной области a<x<ba<x<b иlim⁡x→+∞[f(x+1)−f(x)]=+∞\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]=+\inftyтоlim⁡x→+∞f(x)x=+∞\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Задача 610

Доказать, что если функция f(x)f(x) определена при x>ax>a, ограничена
в каждой конечной области a<x<ba<x<b и для некоторого натурального nn
существует конечный или бесконечный пределlim⁡x→+∞f(x+1)−f(x)xn=l\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x+1)-f(x)}{x^n}=lтоlim⁡x→+∞f(x)xn+1=ln+1\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^{n+1}}=\frac{l}{n+1}

Задача 611

Доказать, чтоа) lim⁡n→∞(1+xn)n=ex\text{а) }\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^xб) lim⁡n→∞(1+x+x22!+⋯+xnn!)=ex\text{б) }\lim_{n\to\infty}
\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)=e^x

Задача 612

Доказать, чтоlim⁡n→∞nsin⁡(2πe n!)=2π\lim_{n\to\infty}n\sin(2\pi e\,n!)=2\pi

Графики функций, заданных пределами

613–625
Построить графики функций:

Задача 613

а) y=1−x100\text{а) } y=1-x^{100}б) y=lim⁡n→∞(1−x2n),−1⩽x⩽1\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}\left(1-x^{2n}\right),
\qquad -1\leqslant x\leqslant 1

Задача 614

а) y=x1001+x100,x⩾0\text{а) } y=\frac{x^{100}}{1+x^{100}},
\qquad x\geqslant0б) y=lim⁡n→∞xn1+xn,x⩾0\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{1+x^n},
\qquad x\geqslant0

Задача 615

Построить график функцииy=lim⁡n→∞xn−x−nxn+x−n,x≠0y=\lim_{n\to\infty}
\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}},
\qquad x\neq0

Задача 616

Построить график функцииy=lim⁡n→∞x2+1n2y=\lim_{n\to\infty}\sqrt{x^2+\frac1{n^2}}

Задача 617

Построить график функцииy=lim⁡n→∞1+xnn,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^n},
\qquad x\geqslant0

Задача 618

Построить график функцииy=lim⁡n→∞1+xn+(x22)nn,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^n+\left(\frac{x^2}{2}\right)^n},
\qquad x\geqslant0

Задача 619

Построить график функцииy=lim⁡n→∞xn+222n+x2n,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}
\frac{x^{n+2}}{\sqrt{2^{2n}+x^{2n}}},
\qquad x\geqslant0

Задача 620

Построить графики функций:а) y=sin⁡1000x\text{а) } y=\sin^{1000}xб) y=lim⁡n→∞sin⁡2nx\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}\sin^{2n}x

Задача 621

Построить график функцииy=lim⁡n→∞ln⁡(2n+xn)n,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(2^n+x^n\right)}{n},
\qquad x\geqslant0

Задача 622

Построить график функцииy=lim⁡n→∞(x−1)arctg⁡xny=\lim_{n\to\infty}(x-1)\operatorname{arctg}x^n

Задача 623

Построить график функцииy=lim⁡n→∞1+en(x+1)ny=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+e^{n(x+1)}}

Опирается на задачу 617

Построить графики функций:

Задача 624

а) y=lim⁡t→+∞x+etx1+etx\text{а) } y=\lim_{t\to+\infty}\frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}}б) y=lim⁡t→x1t−xln⁡tx,x>0\text{б) } y=\lim_{t\to x}\frac1{t-x}\ln\frac tx,
\qquad x>0

Задача 625

а) y=lim⁡n→∞xtan⁡2nnπx4+xtan⁡2nnπx4+1,x⩾0\text{а) } y=\lim_{n\to\infty}
\frac{x\tan^{2n}\dfrac{n\pi x}{4}+\sqrt{x}}
{\tan^{2n}\dfrac{n\pi x}{4}+1},
\qquad x\geqslant0б) y=lim⁡n→∞x sgn⁡∣sin⁡2(n!πx)∣\text{б) } y=\lim_{n\to\infty}
x\,\operatorname{sgn}\left|\sin^2(n!\pi x)\right|в) lim⁡n→∞∣x∣n+∣y∣nn=1\text{в) } \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n}=1

Асимптоты и пределы выражений

626–630

Задача 626

Асимптотой (наклонной) для кривой y=f(x)y=f(x) называется прямая
y=kx+by=kx+b, для которойlim⁡x→∞[f(x)−(kx+b)]=0\lim_{x\to\infty}[f(x)-(kx+b)]=0Используя это утверждение, вывести необходимые и достаточные условия
существования асимптоты

Задачи 201–250 из 268