Раздел I. Введение в анализ — § 5

Демидович § 5. Предел функции

Условия, ответы и подробные решения задач 381–644

Задачи 381–644

268 из 268 с разбором

Тригонометрические пределы

471–505

Задача 481

Доказать равенства:а) lim⁡x→asin⁡x=sin⁡a;б) lim⁡x→acos⁡x=cos⁡a;\text{а) }\lim_{x\to a}\sin x=\sin a;\quad
\text{б) }\lim_{x\to a}\cos x=\cos a;в) lim⁡x→atg⁡x=tg⁡a(a≠2n−12π; n=0,±1,±2,…).\text{в) }\lim_{x\to a}\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}a
\quad\left(a\ne\frac{2n-1}{2}\pi;\ n=0,\pm1,\pm2,\ldots\right).

Задача 482

lim⁡x→asin⁡x−sin⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\sin x-\sin a}{x-a}.

Опирается на задачу 481

Задача 483

lim⁡x→acos⁡x−cos⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\cos x-\cos a}{x-a}.

Задача 484

lim⁡x→atg⁡x−tg⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}a}{x-a}.

Задача 485

lim⁡x→actg⁡x−ctg⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}a}{x-a}.

Задача 486

lim⁡x→asec⁡x−sec⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\sec x-\sec a}{x-a}.

Опирается на задачу 483

Задача 487

lim⁡x→acosec⁡x−cosec⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{cosec}x-\operatorname{cosec}a}{x-a}.

Опирается на задачу 482

Задача 488

lim⁡x→0sin⁡(a+2x)−2sin⁡(a+x)+sin⁡ax2.\lim_{x\to0}\frac{\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a}{x^2}.

Опирается на задачу 474

Задача 489

lim⁡x→0cos⁡(a+2x)−2cos⁡(a+x)+cos⁡ax2.\lim_{x\to0}\frac{\cos(a+2x)-2\cos(a+x)+\cos a}{x^2}.

Опирается на задачу 474

Задача 490

lim⁡x→0tg⁡(a+2x)−2tg⁡(a+x)+tg⁡ax2.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(a+2x)-2\operatorname{tg}(a+x)+\operatorname{tg}a}{x^2}.

Задача 491

lim⁡x→0ctg⁡(a+2x)−2ctg⁡(a+x)+ctg⁡ax2.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ctg}(a+2x)-2\operatorname{ctg}(a+x)+\operatorname{ctg}a}{x^2}.

Задача 492

lim⁡x→0sin⁡(a+x)sin⁡(a+2x)−sin⁡2ax.\lim_{x\to0}\frac{\sin(a+x)\sin(a+2x)-\sin^2a}{x}.

Задача 493

lim⁡x→π62sin⁡2x+sin⁡x−12sin⁡2x−3sin⁡x+1.\lim_{x\to\frac\pi6}\frac{2\sin^2x+\sin x-1}{2\sin^2x-3\sin x+1}.

Задача 494

lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x1−cos⁡x.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\cos2x\cos3x}{1-\cos x}.

Задача 495

lim⁡x→π3sin⁡(x−π3)1−2cos⁡x.\lim_{x\to\frac\pi3}\frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}{1-2\cos x}.

Задача 496

lim⁡x→π3tg⁡3x−3tg⁡xcos⁡(x+π6).\lim_{x\to\frac\pi3}\frac{\operatorname{tg}^3x-3\operatorname{tg}x}{\cos\left(x+\frac\pi6\right)}.

Опирается на задачу 495

Задача 497

lim⁡x→0tg⁡(a+x)tg⁡(a−x)−tg⁡2ax2.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(a+x)\operatorname{tg}(a-x)-\operatorname{tg}^2a}{x^2}.

Задача 498

lim⁡x→π41−ctg⁡3x2−ctg⁡x−ctg⁡3x.\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{1-\operatorname{ctg}^3x}{2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x}.

Задача 499

lim⁡x→01+tg⁡x−1+sin⁡xx3.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}.

Опирается на задачу 475

Задача 500

lim⁡x→0x21+xsin⁡x−cos⁡x.\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}}.

Опирается на задачу 474

Задача 501

lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡x3sin⁡2x.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2x}.

Задача 502

lim⁡x→01−cos⁡x21−cos⁡x.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}.

Задача 503

lim⁡x→01−cos⁡x1−cos⁡(x).\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{1-\cos(\sqrt{x})}.

Опирается на задачу 474

Задача 504

lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x3x2.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\sqrt{\cos2x}\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}.

Задача 505

lim⁡x→+∞(sin⁡x+1−sin⁡x).\lim_{x\to+\infty}\left(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}\right).

Пределы степенно-показательных выражений

506–528

Задача 506

а) lim⁡x→0(1+x2+x)1−x1−x;б) lim⁡x→1(1+x2+x)1−x1−x;\text{а) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}};\quad
\text{б) }\lim_{x\to1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}};в) lim⁡x→+∞(1+x2+x)1−x1−x.\text{в) }\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}.

Задача 507

lim⁡x→∞(x+22x−1)x2.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+2}{2x-1}\right)^{x^2}.

Задача 508

lim⁡x→∞(3x2−x+12x2+x+1)x31−x.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x^2-x+1}{2x^2+x+1}\right)^{\frac{x^3}{1-x}}.

Задача 509

lim⁡n→∞(sin⁡n2πn3n+1).\lim_{n\to\infty}\left(\sin^{n}\frac{2\pi n}{3n+1}\right).

Задача 510

lim⁡x→π4+0[tg⁡(π8+x)]ctg⁡2x.\lim_{x\to \frac{\pi}{4}+0}\left[\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+x\right)\right]^{\operatorname{ctg} 2x}.

Задача 511

lim⁡x→∞(x2−1x2+1)x−1x+1.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{x-1}{x+1}}.

Задача 512

lim⁡x→∞(x2+1x2−2)x2.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-2}\right)^{x^2}.

Задача 513

lim⁡x→0(x2+2x−12x2−3x−2)1x.\lim_{x\to0}\left(\frac{x^2+2x-1}{2x^2-3x-2}\right)^{\frac1x}.

Задача 514

lim⁡x→01−2xx.\lim_{x\to0}\sqrt[x]{1-2x}.

Задача 515

lim⁡x→∞(x+ax−a)x.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x.

Задача 516

lim⁡x→+∞(a1x+b1a2x+b2)x,a1>0, a2>0.\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x,
\quad a_1>0,\ a_2>0.

Задача 517

lim⁡x→0(1+x2)ctg⁡2x.\lim_{x\to0}(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2 x}.

Задача 518

lim⁡x→1(1+sin⁡πx)ctg⁡πx.\lim_{x\to1}(1+\sin \pi x)^{\operatorname{ctg} \pi x}.

Задача 519

Найти пределы:а) lim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1sin⁡x;б) lim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1sin⁡3x.\text{а) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x}{1+\sin x}\right)^{\frac1{\sin x}};
\quad
\text{б) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x}{1+\sin x}\right)^{\frac1{\sin^3 x}}.

Опирается на задачу 475

Задача 520

lim⁡x→a(sin⁡xsin⁡a)1x−a.\lim_{x\to a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac1{x-a}}.

Опирается на задачу 482

Задача 521

lim⁡x→0(cos⁡xcos⁡2x)1x2.\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos x}{\cos 2x}\right)^{\frac1{x^2}}.

Задача 522

lim⁡x→π4(tg⁡x)tg⁡2x.\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}(\operatorname{tg} x)^{\operatorname{tg} 2x}.

Задача 523

lim⁡x→π2(sin⁡x)tg⁡x.\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\operatorname{tg} x}.

Задача 524

lim⁡x→0[tg⁡(π4−x)]ctg⁡x.\lim_{x\to0}\left[\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]^{\operatorname{ctg} x}.

Задача 525

lim⁡x→∞(sin⁡1x+cos⁡1x)x.\lim_{x\to\infty}\left(\sin\frac1x+\cos\frac1x\right)^x.

Опирается на задачу 474

Задача 526

Вычислить пределlim⁡x→0cos⁡xx\lim_{x\to0}\sqrt[x]{\cos\sqrt{x}}

Задача 527

Вычислить пределlim⁡n→∞(n+xn−1)n\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+x}{n-1}\right)^n

Задача 528

Вычислить пределlim⁡n→∞cos⁡nxn\lim_{n\to\infty}\cos^n\frac{x}{\sqrt n}

Логарифмические пределы

529–540

Задача 529

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡(1+x)x\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}

Задача 530

Вычислить пределlim⁡x→+∞x [ln⁡(x+1)−ln⁡x]\lim_{x\to+\infty}x\,[\ln(x+1)-\ln x]

Задачи 101–150 из 268