Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 550

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 550

Вычислить пределlim⁡h→0ax+h+ax−h−2axh2,a>0\lim_{h\to0}
\frac{a^{x+h}+a^{x-h}-2a^x}{h^2},
\qquad a>0
Ответ:ax(ln⁡a)2a^x(\ln a)^2

Решение

Идея

Если a=1a=1, числитель равен нулю. Пусть a≠1a\ne1. Вынесем axa^x
и положим t=hln⁡at=h\ln a:
ax+h+ax−h−2axh2=axet+e−t−2h2==ax(et−1)2ett2(ln⁡a)2⟶ax(ln⁡a)2\begin{aligned}
\frac{a^{x+h}+a^{x-h}-2a^x}{h^2}
&=a^x\frac{e^t+e^{-t}-2}{h^2}=\\
&=a^x\frac{(e^t-1)^2}{e^t t^2}(\ln a)^2
\longrightarrow a^x(\ln a)^2
\end{aligned}Здесь использованы пределы (et−1)/t→1(e^t-1)/t\to1 и et→1e^t\to1.
При a=1a=1 полученная формула также верна.