Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 576

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh} x}{x}; \qquad \text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch} x-1}{x^2}; \qquad \text{в) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{th} x}{x}

Ответ:

1

\frac12

1

Решение

1
Пункт а)
По определению гиперболического синуса $\begin{aligned} \frac{\operatorname{sh} x}{x} &=\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=\\ &=\frac12\left( \frac{e^x-1}{x}+\frac{1-e^{-x}}{x} \right)\longrightarrow\frac12(1+1) =1\end{aligned}$
2
Пункт б)
Используем тождество $\operatorname{ch} x-1=2\operatorname{sh}^2\dfrac x2$ : $\begin{aligned} \frac{\operatorname{ch} x-1}{x^2} &=\frac12\left( \frac{\operatorname{sh}(x/2)}{x/2} \right)^2 \longrightarrow\frac12\end{aligned}$
3
Пункт в)
Так как $\operatorname{th} x=\dfrac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}$ , то $\begin{aligned} \frac{\operatorname{th} x}{x} &=\frac{\operatorname{sh} x}{x}\cdot\frac1{\operatorname{ch} x} \longrightarrow1\end{aligned}$