Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 576

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 576

Найти пределы:а) lim⁡x→0sh⁡xx;б) lim⁡x→0ch⁡x−1x2;в) lim⁡x→0th⁡xx\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh} x}{x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch} x-1}{x^2};
\qquad
\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{th} x}{x}
Ответ:а) 11б) 12\frac12в) 11

Решение

Пункт а)

По определению гиперболического синусаsh⁡xx=\displaystyle \frac{\operatorname{sh} x}{x}\mathrel{=}ex−e−x2x=\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2x}\mathrel{=}12(ex−1x+1−e−xx)⟶12(1+1)=\displaystyle \frac12\left(
\frac{e^x-1}{x}+\frac{1-e^{-x}}{x}
\right)\longrightarrow\frac12(1+1)\mathrel{=}1\displaystyle 1

Пункт б)

Тождество выводится непосредственно из определений:2sh⁡2(x/2)=(ex/2−e−x/2)22=ex+e−x−22=ch⁡x−1.2\operatorname{sh}^2(x/2)=\frac{(e^{x/2}-e^{-x/2})^2}{2}
=\frac{e^x+e^{-x}-2}{2}=\operatorname{ch}x-1.Поэтомуch⁡x−1x2=12(sh⁡(x/2)x/2)2⟶12\begin{aligned}
\frac{\operatorname{ch} x-1}{x^2}
&=\frac12\left(
\frac{\operatorname{sh}(x/2)}{x/2}
\right)^2
\longrightarrow\frac12
\end{aligned}

Пункт в)

Так как th⁡x=sh⁡xch⁡x\operatorname{th} x=\dfrac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}, тоth⁡xx=sh⁡xx⋅1ch⁡x⟶1\begin{aligned}
\frac{\operatorname{th} x}{x}
&=\frac{\operatorname{sh} x}{x}\cdot\frac1{\operatorname{ch} x}
\longrightarrow1
\end{aligned}