Раздел I. Введение в анализ — § 5

Демидович § 5. Предел функции

Условия, ответы и подробные решения задач 381–644

Задачи 381–644

268 из 268 с разбором

Асимптоты и пределы выражений

626–630

Задача 627

Найти асимптоты и построить следующие кривые:а) y=x3x2+x−2б) y=x2+x\text{а) }y=\frac{x^3}{x^2+x-2}
\qquad
\text{б) }y=\sqrt{x^2+x}в) y=x2−x33г) y=xexex−1\text{в) }y=\sqrt[3]{x^2-x^3}
\qquad
\text{г) }y=\frac{xe^x}{e^x-1}д) y=ln⁡(1+ex)е) y=x+arccos⁡1x\text{д) }y=\ln(1+e^x)
\qquad
\text{е) }y=x+\arccos\frac1x

Задача 628

Найти пределlim⁡n→∞[xn+1(n+1)!+xn+2(n+2)!+⋯+x2n(2n)!]\lim_{n\to\infty}\left[
\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}
+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\right]

Задача 629

Найти пределlim⁡n→∞(1+x)(1+x2)(1+x4)⋯(1+x2n),∣x∣<1\lim_{n\to\infty}
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^n}),
\qquad |x|<1

Задача 630

Найти пределlim⁡n→∞(cos⁡x2cos⁡x4⋯cos⁡x2n)\lim_{n\to\infty}
\left(\cos\frac x2\cos\frac x4\cdots\cos\frac{x}{2^n}\right)

Эквивалентные замены в суммах и произведениях

631–636

Задача 631

Пустьlim⁡x→0φ(x)ψ(x)=1\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=1где ψ(x)>0\psi(x)>0, αmn≠0\alpha_{mn}\ne0 и
αmn⇒0\alpha_{mn}\Rightarrow0 при n→∞n\to\infty,
то есть для любого δ>0\delta>0 при всех достаточно больших nn
выполняется0<∣αmn∣<δm=1,2,…,n0<|\alpha_{mn}|<\delta
\qquad
m=1,2,\ldots,nДоказать, чтоlim⁡n→∞[φ(α1n)+⋯+φ(αnn)]==lim⁡n→∞[ψ(α1n)+⋯+ψ(αnn)]\begin{aligned}
&\lim_{n\to\infty}
[\varphi(\alpha_{1n})+\cdots+\varphi(\alpha_{nn})]=\\
&\qquad=\lim_{n\to\infty}
[\psi(\alpha_{1n})+\cdots+\psi(\alpha_{nn})]
\end{aligned}если предел в правой части существует
Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

Задача 632

lim⁡n→∞∑k=1n(1+kn23−1)\lim_{n\to\infty}
\sum_{k=1}^n\left(\sqrt[3]{1+\frac{k}{n^2}}-1\right)

Опирается на задачу 631

Задача 633

lim⁡n→∞∑k=1nsin⁡kan2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\frac{ka}{n^2}

Задача 634

lim⁡n→∞∑k=1n(akn2−1),a>0\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n
\left(a^{\frac{k}{n^2}}-1\right),
\qquad a>0

Задача 635

lim⁡n→∞∏k=1n(1+kn2)\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n
\left(1+\frac{k}{n^2}\right)

Опирается на задачу 631

Задача 636

lim⁡n→∞∏k=1ncos⁡kann\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n
\cos\frac{ka}{n\sqrt n}

Рекуррентные последовательности и частичные пределы

637–644

Задача 637

1. Последовательность xnx_n задана равенствамиx1=a,x2=a+a,x3=a+a+a,…(a>0)x_1=\sqrt a,
\qquad
x_2=\sqrt{a+\sqrt a},
\qquad
x_3=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt a}},\ldots
\qquad (a>0)Найти lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n

2. Последовательность xnx_n задана следующим образом:x1=0,x2=1x_1=0,
\qquad
x_2=1xn=12(xn−1+xn−2)n=3,4,…x_n=\frac12(x_{n-1}+x_{n-2})
\qquad
n=3,4,\ldotsНайти lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n

3. Последовательность yny_n определяется с помощью
последовательности xnx_n соотношениямиy0=x0,yn=xn−αxn−1n=1,2,…y_0=x_0,
\qquad
y_n=x_n-\alpha x_{n-1}
\qquad
n=1,2,\ldotsгде ∣α∣<1|\alpha|<1. Найти lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n, еслиlim⁡n→∞yn=b\lim_{n\to\infty}y_n=b4. Последовательность xnx_n определяется следующим образом:x0=1,xn=11+xn−1n=1,2,…x_0=1,
\qquad
x_n=\frac1{1+x_{n-1}}
\qquad
n=1,2,\ldotsНайти lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n

Указание. Рассмотреть разности между xnx_n и корнями уравненияx=11+xx=\frac1{1+x}

Задача 638

Последовательность функцийyn=yn(x),0⩽x⩽1y_n=y_n(x),
\qquad
0\leqslant x\leqslant1определяется следующим образом:а) y1=x2,yn=x2−yn−122n=2,3,…\text{а) }y_1=\frac x2,
\qquad
y_n=\frac x2-\frac{y_{n-1}^2}{2}
\quad n=2,3,\ldotsб) y1=x2,yn=x2+yn−122n=2,3,…\text{б) }y_1=\frac x2,
\qquad
y_n=\frac x2+\frac{y_{n-1}^2}{2}
\quad n=2,3,\ldotsНайти lim⁡n→∞yn\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n

Задача 639

1. Пусть x>0x>0 иyn=yn−1(2−xyn−1)n=1,2,…y_n=y_{n-1}(2-xy_{n-1})
\qquad
n=1,2,\ldotsДоказать, что если yi>0y_i>0 при i=0,1i=0,1, то последовательность
yny_n сходится иlim⁡n→∞yn=1x\lim_{n\to\infty}y_n=\frac1xУказание. Изучить разность 1x−yn\dfrac1x-y_n

2. Для нахождения y=xy=\sqrt x, где x>0x>0, применяется
следующий процесс: y0>0y_0>0 выбирается произвольно иyn=12(yn−1+xyn−1)n=1,2,…y_n=\frac12\left(y_{n-1}+\frac{x}{y_{n-1}}\right)
\qquad
n=1,2,\ldotsДоказать, чтоlim⁡n→∞yn=x\lim_{n\to\infty}y_n=\sqrt xУказание. Использовать формулуyn−xyn+x=(yn−1−xyn−1+x)2n⩾1\frac{y_n-\sqrt x}{y_n+\sqrt x}
=\left(\frac{y_{n-1}-\sqrt x}{y_{n-1}+\sqrt x}\right)^2
\qquad
n\geqslant1

Задача 640

Для приближённого решения уравнения Кеплераx−εsin⁡x=m,0<ε<1x-\varepsilon\sin x=m,
\qquad
0<\varepsilon<1полагаютx0=m,xn=m+εsin⁡xn−1n=1,2,…x_0=m,
\qquad
x_n=m+\varepsilon\sin x_{n-1}
\qquad
n=1,2,\ldotsДоказать, что существует ξ=lim⁡n→∞xn\xi=\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n
и число ξ\xi является единственным корнем уравнения

Задача 641

Если ωh[f]\omega_h[f] есть колебание функции f(x)f(x) на сегменте
∣x−ξ∣⩽h|x-\xi|\leqslant h, h>0h>0, то числоω0[f]=lim⁡h→0ωh[f]\omega_0[f]=\lim_{h\to0}\omega_h[f]называется колебанием функции f(x)f(x) в точке ξ\xi

Определить колебание функции f(x)f(x) в точке x=0x=0, если f(0)=0f(0)=0
и при x≠0x\ne0а) f(x)=sin⁡1x\text{а) }f(x)=\sin\frac1xб) f(x)=1x2cos⁡21x\text{б) }f(x)=\frac1{x^2}\cos^2\frac1xв) f(x)=x(2+sin⁡1x)\text{в) }f(x)=x\left(2+\sin\frac1x\right)г) f(x)=1πarctg⁡1x\text{г) }f(x)=\frac1\pi\operatorname{arctg}\frac1xд) f(x)=∣sin⁡x∣x\text{д) }f(x)=\frac{|\sin x|}{x}е) f(x)=11+e1/x\text{е) }f(x)=\frac1{1+e^{1/x}}ж) f(x)=(1+∣x∣)1/x\text{ж) }f(x)=(1+|x|)^{1/x}

Задача 642

Пустьf(x)=sin⁡1xf(x)=\sin\frac1xДоказать, что для любого числа α\alpha, удовлетворяющего условию
−1⩽α⩽1-1\leqslant\alpha\leqslant1, можно выбрать последовательность
xn→0x_n\to0 такую, чтоlim⁡n→∞f(xn)=α\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\alpha

Задача 643

Определитьl=lim‾⁡x→0f(x)иL=lim‾⁡x→0f(x)l=\varliminf_{x\to0}f(x)
\quad\text{и}\quad
L=\varlimsup_{x\to0}f(x)еслиа) f(x)=sin⁡21x+2πarctg⁡1x\text{а) }f(x)=\sin^2\frac1x+\frac2\pi\operatorname{arctg}\frac1xб) f(x)=(2−x2)cos⁡1x\text{б) }f(x)=(2-x^2)\cos\frac1xв) f(x)=(1+cos⁡21x)sec⁡2(1/x)\text{в) }f(x)=
\left(1+\cos^2\frac1x\right)^{\sec^2(1/x)}

Задача 644

Определитьl=lim‾⁡x→∞f(x)иL=lim‾⁡x→∞f(x)l=\varliminf_{x\to\infty}f(x)
\quad\text{и}\quad
L=\varlimsup_{x\to\infty}f(x)еслиа) f(x)=sin⁡x\text{а) }f(x)=\sin xб) f(x)=x2cos⁡2x\text{б) }f(x)=x^2\cos^2xв) f(x)=2sin⁡x2\text{в) }f(x)=2^{\sin x^2}г) f(x)=x1+x2sin⁡2xx⩾0\text{г) }f(x)=\frac{x}{1+x^2\sin^2x}
\qquad
x\geqslant0

Задачи 251–268 из 268