Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 555

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 555

Найти пределlim⁡n→∞(an+bn2)n,a>0,b>0\lim_{n\to\infty}
\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}2\right)^n,
\qquad a>0,\quad b>0
Ответ:ab\sqrt{ab}

Решение

Вычтем единицу из основания и обозначим результат через unu_n:
an+bn2=1+un,un=(an−1)+(bn−1)2.\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2}=1+u_n,\qquad
u_n=\frac{(\sqrt[n]a-1)+(\sqrt[n]b-1)}2.Имеем un→0u_n\to0. По №552nun=n(an−1)+n(bn−1)2⟶ln⁡a+ln⁡b2.nu_n=\frac{n(\sqrt[n]a-1)+n(\sqrt[n]b-1)}2
\longrightarrow\frac{\ln a+\ln b}{2}.Пусть yn=(1+un)ny_n=(1+u_n)^n. С обозначением LL из №554 получаем точное равенствоln⁡yn=nln⁡(1+un)=nunL(un)⟶ln⁡a+ln⁡b2,\ln y_n=n\ln(1+u_n)=nu_n L(u_n)
\longrightarrow\frac{\ln a+\ln b}{2},так как L(un)→1L(u_n)\to1. Поэтомуyn⟶e(ln⁡a+ln⁡b)/2=eln⁡(ab)/2=ab.y_n\longrightarrow e^{(\ln a+\ln b)/2}
=e^{\ln(ab)/2}=\sqrt{ab}.Это рассуждение допускает и un=0u_n=0: для таких членов использовано L(0)=1L(0)=1.