Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 555

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}2\right)^n, \qquad a>0,\quad b>0

Ответ:

\sqrt{ab}

Решение

Идея

Используем разложения

e^u=1+u+o(u)

и замечательный предел:

\begin{aligned} \left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}2\right)^n &=\left(1+\frac{\ln a+\ln b}{2n} +o\left(\frac1n\right)\right)^n\longrightarrow\\ &\longrightarrow\exp\left(\frac{\ln a+\ln b}{2}\right) =\sqrt{ab}\end{aligned}