Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 495

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 495

lim⁡x→π3sin⁡(x−π3)1−2cos⁡x.\lim_{x\to\frac\pi3}\frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}{1-2\cos x}.

Решение

Положим u=x−π/3u=x-\pi/3. Тогда u→0u\to0. По формуле косинуса суммы и значениям cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3)=1/2, sin⁡(π/3)=3/2\sin(\pi/3)=\sqrt3/2 получаем
cos⁡x=cos⁡(u+π/3)=12cos⁡u−32sin⁡u.\cos x=\cos(u+\pi/3)=\tfrac12\cos u-\tfrac{\sqrt3}{2}\sin u.Поэтому знаменатель равен 1−cos⁡u+3sin⁡u1-\cos u+\sqrt3\sin u. При достаточно малом u≠0u\ne0 можно разделить обе части дроби на sin⁡u\sin u:sin⁡u1−cos⁡u+3sin⁡u=11−cos⁡usin⁡u+3.\frac{\sin u}{1-\cos u+\sqrt3\sin u}
=\frac1{\dfrac{1-\cos u}{\sin u}+\sqrt3}.Чтобы найти предел дроби в знаменателе, используем разность квадратов:1−cos⁡usin⁡u=(1−cos⁡u)(1+cos⁡u)sin⁡u(1+cos⁡u)=sin⁡2usin⁡u(1+cos⁡u)=sin⁡u1+cos⁡u⟶02=0.\frac{1-\cos u}{\sin u}
=\frac{(1-\cos u)(1+\cos u)}{\sin u(1+\cos u)}
=\frac{\sin^2u}{\sin u(1+\cos u)}
=\frac{\sin u}{1+\cos u}\longrightarrow\frac0{2}=0.Весь знаменатель стремится к 3≠0\sqrt3\ne0, и по правилу предела частногоlim⁡x→π/3sin⁡(x−π/3)1−2cos⁡x=13.\lim_{x\to\pi/3}\frac{\sin(x-\pi/3)}{1-2\cos x}=\frac1{\sqrt3}.