Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 495

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 495

lim⁡x→π3sin⁡(x−π3)1−2cos⁡x.\lim_{x\to\frac\pi3}\frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}{1-2\cos x}.

Решение

Идея

При x→π3x\to\dfrac\pi3 числитель и знаменатель стремятся к нулю.
  1. 1
    Представим угол xx в виде x=(x−π3)+π3x=\left(x-\frac\pi3\right)+\frac\pi3 и раскроем cos⁡x\cos x по формуле косинуса суммы: cos⁡x=cos⁡(x−π3)cos⁡π3−sin⁡(x−π3)sin⁡π3.\cos x
    =
    \cos\left(x-\frac\pi3\right)\cos\frac\pi3
    -
    \sin\left(x-\frac\pi3\right)\sin\frac\pi3.     Так как cos⁡π3=12,sin⁡π3=32,\cos\frac\pi3=\frac12,
    \quad
    \sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2},     откуда cos⁡x=12cos⁡(x−π3)−32sin⁡(x−π3).\cos x
    =
    \frac12\cos\left(x-\frac\pi3\right)
    -
    \frac{\sqrt3}{2}\sin\left(x-\frac\pi3\right).     Отсюда 1−2cos⁡x=1−cos⁡(x−π3)+3sin⁡(x−π3).1-2\cos x
    =
    1-\cos\left(x-\frac\pi3\right)
    +\sqrt3\sin\left(x-\frac\pi3\right).    Тогда sin⁡(x−π3)1−2cos⁡x=sin⁡(x−π3)1−cos⁡(x−π3)+3sin⁡(x−π3).\frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}{1-2\cos x}
    =
    \frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}
    {1-\cos\left(x-\frac\pi3\right)
    +\sqrt3\sin\left(x-\frac\pi3\right)}.     Разделим числитель и знаменатель на sin⁡(x−π3)\sin\left(x-\frac\pi3\right): =11−cos⁡(x−π3)sin⁡(x−π3)+3.=
    \frac{1}{
    \dfrac{1-\cos\left(x-\frac\pi3\right)}
    {\sin\left(x-\frac\pi3\right)}
    +\sqrt3
    }.
  2. 2
    Преобразуем дробь 1−cos⁡(x−π3)sin⁡(x−π3).\frac{1-\cos\left(x-\frac\pi3\right)}
    {\sin\left(x-\frac\pi3\right)}.     Домножим числитель и знаменатель на 1+cos⁡(x−π3).1+\cos\left(x-\frac\pi3\right). Отсюда 1−cos⁡(x−π3)sin⁡(x−π3)⋅1+cos⁡(x−π3)1+cos⁡(x−π3)\frac{1-\cos\left(x-\frac\pi3\right)}
    {\sin\left(x-\frac\pi3\right)}
    \cdot
    \frac{1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)}
    {1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)}     =(1−cos⁡(x−π3))(1+cos⁡(x−π3))sin⁡(x−π3)(1+cos⁡(x−π3)).=
    \frac{
    \left(1-\cos\left(x-\frac\pi3\right)\right)
    \left(1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)\right)
    }{
    \sin\left(x-\frac\pi3\right)
    \left(1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)\right)
    }.     В числителе используем формулу разности квадратов: (1−cos⁡u)(1+cos⁡u)=1−cos⁡2u=sin⁡2u.(1-\cos u)(1+\cos u)=1-\cos^2u=\sin^2u. Тогда (1−cos⁡(x−π3))(1+cos⁡(x−π3))sin⁡(x−π3)(1+cos⁡(x−π3))\frac{
    \left(1-\cos\left(x-\frac\pi3\right)\right)
    \left(1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)\right)
    }{
    \sin\left(x-\frac\pi3\right)
    \left(1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)\right)
    }     =sin⁡2(x−π3)sin⁡(x−π3)(1+cos⁡(x−π3)).=
    \frac{
    \sin^2\left(x-\frac\pi3\right)
    }{
    \sin\left(x-\frac\pi3\right)
    \left(1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)\right)
    }.     После преобразований получаем sin⁡(x−π3)1−2cos⁡x=1sin⁡(x−π3)1+cos⁡(x−π3)+3.\frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}{1-2\cos x}
    =
    \frac{1}{
    \dfrac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}
    {1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)}
    +\sqrt3
    }.     При x→π3x\to\dfrac\pi3 sin⁡(x−π3)→0,1+cos⁡(x−π3)→2,\sin\left(x-\frac\pi3\right)\to0,
    \quad
    1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)\to2,     поэтому sin⁡(x−π3)1+cos⁡(x−π3)→02=0.\frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}
    {1+\cos\left(x-\frac\pi3\right)}
    \to\frac02=0.     Знаменатель всей дроби стремится к 0+3=3.0+\sqrt3=\sqrt3.

Проверка

lim⁡x→π3sin⁡(x−π3)1−2cos⁡x=13.\boxed{
\lim_{x\to\frac\pi3}
\frac{\sin\left(x-\frac\pi3\right)}
{1-2\cos x}
=
\frac1{\sqrt3}
}.
Демидович № 495 — решение | Высшая математика — Профиматика