Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 528

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 528

Вычислить пределlim⁡n→∞cos⁡nxn\lim_{n\to\infty}\cos^n\frac{x}{\sqrt n}
Ответ:e−x2/2e^{-x^2/2}

Решение

Параметр x∈Rx\in\mathbb R фиксирован. Для больших nn основание
положительно. Обозначим yn=cos⁡nxny_n=\cos^n\dfrac{x}{\sqrt n}.
Если x=0x=0, то yn=1y_n=1. Пусть теперь x≠0x\ne0. Тогда
ln⁡yn=\displaystyle \ln y_n\mathrel{=}nln⁡cos⁡xn=\displaystyle n\ln\cos\frac{x}{\sqrt n}\mathrel{=}x2 ln⁡cos⁡xn(xn)2⟶−x22\displaystyle x^2\,
\frac{\ln\cos\frac{x}{\sqrt n}}
{\left(\frac{x}{\sqrt n}\right)^2}
\longrightarrow-\frac{x^2}{2}Здесь использован предел, доказанный в №526:ln⁡cos⁡tt2⟶−12(t→0)\frac{\ln\cos t}{t^2}\longrightarrow-\frac12
\qquad (t\to0)Следовательно,lim⁡n→∞yn=e−x2/2\lim_{n\to\infty}y_n=e^{-x^2/2}Полученная формула верна и при x=0x=0.