Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 528

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить предел

\lim_{n\to\infty}\cos^n\frac{x}{\sqrt n}

Ответ:

e^{-x^2/2}

Решение

Идея

Параметр

x\in\mathbb R

фиксирован. Для больших

n

основание
положительно. Обозначим

y_n=\cos^n\dfrac{x}{\sqrt n}

.
Если

x=0

, то

y_n=1

. Пусть теперь

x\ne0

. Тогда

Проверка

\begin{aligned} \ln y_n &=n\ln\cos\frac{x}{\sqrt n}=\\ &=x^2\, \frac{\ln\cos\frac{x}{\sqrt n}} {\left(\frac{x}{\sqrt n}\right)^2} \longrightarrow-\frac{x^2}{2}\end{aligned}

Здесь использована эквивалентность

\ln\cos t\sim-\frac{t^2}{2} \qquad (t\to0)

Следовательно,

\lim_{n\to\infty}y_n=e^{-x^2/2}

Полученная формула верна и при

x=0