Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 518

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 518

lim⁡x→1(1+sin⁡πx)ctg⁡πx.\lim_{x\to1}(1+\sin \pi x)^{\operatorname{ctg} \pi x}.

Решение

При x→1x\to1 sin⁡πx→0\sin\pi x\to0, поэтому основание стремится к 11. Приведем выражение ко второму замечательному пределу:
(1+sin⁡πx)ctg⁡πx=[(1+sin⁡πx)1sin⁡πx]sin⁡πx ctg⁡πx.(1+\sin\pi x)^{\operatorname{ctg}\pi x}
=
\left[
(1+\sin\pi x)^{\frac1{\sin\pi x}}
\right]^{
\sin\pi x\,\operatorname{ctg}\pi x
}.Положим t=sin⁡πxt=\sin\pi x. При x→1x\to1 имеем t→0t\to0, поэтому(1+sin⁡πx)1sin⁡πx=(1+t)1/t→e.(1+\sin\pi x)^{\frac1{\sin\pi x}}
=
(1+t)^{1/t}\to e.Преобразуем показатель внешней степени:sin⁡πx ctg⁡πx=cos⁡πx→−1.\sin\pi x\,\operatorname{ctg}\pi x
=
\cos\pi x
\to-1.Поэтомуlim⁡x→1(1+sin⁡πx)ctg⁡πx=e−1=1e.\lim_{x\to1}
(1+\sin\pi x)^{\operatorname{ctg}\pi x}
=
e^{-1}
=
\frac1e
.