Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 521

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 521

lim⁡x→0(cos⁡xcos⁡2x)1x2.\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos x}{\cos 2x}\right)^{\frac1{x^2}}.

Решение

Идея

Преобразуем основание:cos⁡xcos⁡2x=1+cos⁡x−cos⁡2xcos⁡2x.\frac{\cos x}{\cos2x}
=
1+\frac{\cos x-\cos2x}{\cos2x}.Тогда(cos⁡xcos⁡2x)1/x2=[(1+cos⁡x−cos⁡2xcos⁡2x)cos⁡2xcos⁡x−cos⁡2x]cos⁡x−cos⁡2xx2cos⁡2x.\left(\frac{\cos x}{\cos2x}\right)^{1/x^2}
=
\left[
\left(
1+\frac{\cos x-\cos2x}{\cos2x}
\right)^{
\frac{\cos2x}{\cos x-\cos2x}
}
\right]^{
\frac{\cos x-\cos2x}{x^2\cos2x}
}.Положимt=cos⁡x−cos⁡2xcos⁡2x.t=\frac{\cos x-\cos2x}{\cos2x}.При x→0x\to0 имеем t→0t\to0, поэтому первая скобка имеет вид(1+t)1/t→e.(1+t)^{1/t}\to e.
Найдем предел показателя. Используем формулу разности косинусов:cos⁡x−cos⁡2x=2sin⁡3x2sin⁡x2.\cos x-\cos2x
=
2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac x2.Отсюдаcos⁡x−cos⁡2xx2cos⁡2x=32⋅sin⁡3x23x2⋅sin⁡x2x2⋅1cos⁡2x→32.\frac{\cos x-\cos2x}{x^2\cos2x}
=
\frac32
\cdot
\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}
\cdot
\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}
\cdot
\frac1{\cos2x}
\to\frac32.Поэтомуlim⁡x→0(cos⁡xcos⁡2x)1/x2=e3/2.\boxed{
\lim_{x\to0}
\left(\frac{\cos x}{\cos2x}\right)^{1/x^2}
=
e^{3/2}
}.
Демидович № 521 — решение