Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 519

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 519

Найти пределы:а) lim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1sin⁡x;б) lim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1sin⁡3x.\text{а) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x}{1+\sin x}\right)^{\frac1{\sin x}};
\quad
\text{б) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\operatorname{tg} x}{1+\sin x}\right)^{\frac1{\sin^3 x}}.

Опирается на

Решение

Пункт а)

Преобразуем основание:1+tg⁡x1+sin⁡x=1+tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x.\frac{1+\operatorname{tg}x}{1+\sin x}
=
1+
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{1+\sin x}.Приведем выражение ко второму замечательному пределу:(1+tg⁡x1+sin⁡x)1/sin⁡x=[(1+tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x)1+sin⁡xtg⁡x−sin⁡x]tg⁡x−sin⁡xsin⁡x(1+sin⁡x).\left(
\frac{1+\operatorname{tg}x}{1+\sin x}
\right)^{1/\sin x}
=
\left[
\left(
1+
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{1+\sin x}
\right)^{
\frac{1+\sin x}{\operatorname{tg}x-\sin x}
}
\right]^{
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}
{\sin x(1+\sin x)}
}.Положимt=tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x.t=\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{1+\sin x}.При x→0x\to0 имеем t→0t\to0, и первая скобка имеет вид(1+t)1/t→e.(1+t)^{1/t}\to e.
Так какtg⁡x−sin⁡x=sin⁡x(1−cos⁡x)cos⁡x,\operatorname{tg}x-\sin x
=
\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x},тоtg⁡x−sin⁡xsin⁡x(1+sin⁡x)=1−cos⁡xcos⁡x(1+sin⁡x)→0.\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}
{\sin x(1+\sin x)}
=
\frac{1-\cos x}
{\cos x(1+\sin x)}
\to0.Поэтомуlim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1/sin⁡x=e0=1.\lim_{x\to0}
\left(
\frac{1+\operatorname{tg}x}{1+\sin x}
\right)^{1/\sin x}
=
e^0=1
.

Пункт б)

Как и в пункте а),1+tg⁡x1+sin⁡x=1+tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x.\frac{1+\operatorname{tg}x}{1+\sin x}
=
1+
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{1+\sin x}.Тогда(1+tg⁡x1+sin⁡x)1/sin⁡3x=[(1+tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x)1+sin⁡xtg⁡x−sin⁡x]tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x(1+sin⁡x).\left(
\frac{1+\operatorname{tg}x}{1+\sin x}
\right)^{1/\sin^3x}
=
\left[
\left(
1+
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{1+\sin x}
\right)^{
\frac{1+\sin x}{\operatorname{tg}x-\sin x}
}
\right]^{
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}
{\sin^3x(1+\sin x)}
}.Положимt=tg⁡x−sin⁡x1+sin⁡x.t=\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{1+\sin x}.При x→0x\to0 имеем t→0t\to0, поэтому первая скобка имеет вид(1+t)1/t→e.(1+t)^{1/t}\to e.

Проверка

Из задачи tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x→12.\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3x}
\to\frac12.Кроме того, 1+sin⁡x→11+\sin x\to1, поэтомуtg⁡x−sin⁡xsin⁡3x(1+sin⁡x)→12.\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}
{\sin^3x(1+\sin x)}
\to\frac12.Следовательно,lim⁡x→0(1+tg⁡x1+sin⁡x)1/sin⁡3x=e1/2=e.\lim_{x\to0}
\left(
\frac{1+\operatorname{tg}x}{1+\sin x}
\right)^{1/\sin^3x}
=
e^{1/2}
=
\sqrt e
.