Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 493

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 493

lim⁡x→π62sin⁡2x+sin⁡x−12sin⁡2x−3sin⁡x+1.\lim_{x\to\frac\pi6}\frac{2\sin^2x+\sin x-1}{2\sin^2x-3\sin x+1}.

Решение

При x→π6x\to\dfrac\pi6 sin⁡x→12,\sin x\to\frac12, и числитель и знаменатель стремятся к нулю.
Разложим оба выражения на множители: 2sin⁡2x+sin⁡x−1=(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1),2\sin^2x+\sin x-1 = (2\sin x-1)(\sin x+1), а 2sin⁡2x−3sin⁡x+1=(2sin⁡x−1)(sin⁡x−1).2\sin^2x-3\sin x+1 = (2\sin x-1)(\sin x-1).

Проверка

При x≠π/6x\ne\pi/6 в достаточно малой окрестности π/6\pi/6 2sin⁡2x+sin⁡x−12sin⁡2x−3sin⁡x+1=sin⁡x+1sin⁡x−1.\frac{2\sin^2x+\sin x-1} {2\sin^2x-3\sin x+1} = \frac{\sin x+1}{\sin x-1}. При переходе к пределу имеем lim⁡x→π62sin⁡2x+sin⁡x−12sin⁡2x−3sin⁡x+1=12+112−1=−3.\lim_{x\to\frac\pi6}
\frac{2\sin^2x+\sin x-1}
{2\sin^2x-3\sin x+1}
=
\frac{\frac12+1}{\frac12-1}
=
-3
.