Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 490

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 490

lim⁡x→0tg⁡(a+2x)−2tg⁡(a+x)+tg⁡ax2.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(a+2x)-2\operatorname{tg}(a+x)+\operatorname{tg}a}{x^2}.

Решение

Идея

Считаем, что cos⁡a≠0\cos a\neq0, чтобы tg⁡a\operatorname{tg}a был определен.
Представим числитель как разность двух приращений тангенса: tg⁡(a+2x)−2tg⁡(a+x)+tg⁡a\operatorname{tg}(a+2x)-2\operatorname{tg}(a+x)+\operatorname{tg}a =[tg⁡(a+2x)−tg⁡(a+x)]−[tg⁡(a+x)−tg⁡a].=
\left[\operatorname{tg}(a+2x)-\operatorname{tg}(a+x)\right]
-
\left[\operatorname{tg}(a+x)-\operatorname{tg}a\right]. Используем формулу tg⁡α−tg⁡β=sin⁡(α−β)cos⁡αcos⁡β.\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta
=
\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}. Тогда tg⁡(a+2x)−tg⁡(a+x)=sin⁡xcos⁡(a+2x)cos⁡(a+x),\operatorname{tg}(a+2x)-\operatorname{tg}(a+x)
=
\frac{\sin x}{\cos(a+2x)\cos(a+x)}, а tg⁡(a+x)−tg⁡a=sin⁡xcos⁡(a+x)cos⁡a.\operatorname{tg}(a+x)-\operatorname{tg}a
=
\frac{\sin x}{\cos(a+x)\cos a}. Отсюда tg⁡(a+2x)−2tg⁡(a+x)+tg⁡a\operatorname{tg}(a+2x)-2\operatorname{tg}(a+x)+\operatorname{tg}a =sin⁡xcos⁡(a+x)(1cos⁡(a+2x)−1cos⁡a).=
\frac{\sin x}{\cos(a+x)}
\left(
\frac1{\cos(a+2x)}-\frac1{\cos a}
\right). Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: 1cos⁡(a+2x)−1cos⁡a=cos⁡a−cos⁡(a+2x)cos⁡(a+2x)cos⁡a.\frac1{\cos(a+2x)}-\frac1{\cos a}
=
\frac{\cos a-\cos(a+2x)}
{\cos(a+2x)\cos a}. Используем формулу разности косинусов: cos⁡a−cos⁡(a+2x)=2sin⁡(a+x)sin⁡x.\cos a-\cos(a+2x) = 2\sin(a+x)\sin x. Тогда tg⁡(a+2x)−2tg⁡(a+x)+tg⁡a=2sin⁡2xsin⁡(a+x)cos⁡(a+x)cos⁡(a+2x)cos⁡a.\operatorname{tg}(a+2x)-2\operatorname{tg}(a+x)+\operatorname{tg}a
=
\frac{2\sin^2x\sin(a+x)}
{\cos(a+x)\cos(a+2x)\cos a}. Делим на x2x^2: tg⁡(a+2x)−2tg⁡(a+x)+tg⁡ax2=2(sin⁡xx)2sin⁡(a+x)cos⁡(a+x)cos⁡(a+2x)cos⁡a.\frac{\operatorname{tg}(a+2x)-2\operatorname{tg}(a+x)+\operatorname{tg}a}{x^2}
=
2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2
\frac{\sin(a+x)}
{\cos(a+x)\cos(a+2x)\cos a}. При x→0x\to0 sin⁡xx→1,sin⁡(a+x)→sin⁡a,cos⁡(a+x)→cos⁡a,cos⁡(a+2x)→cos⁡a.\frac{\sin x}{x}\to1,
\quad
\sin(a+x)\to\sin a,
\quad
\cos(a+x)\to\cos a,
\quad
\cos(a+2x)\to\cos a.

Проверка

lim⁡x→0tg⁡(a+2x)−2tg⁡(a+x)+tg⁡ax2=2sin⁡acos⁡3a.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\operatorname{tg}(a+2x)-2\operatorname{tg}(a+x)+\operatorname{tg}a}{x^2}
=
\frac{2\sin a}{\cos^3a}
}.
Демидович № 490 — решение