Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 492

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 492

lim⁡x→0sin⁡(a+x)sin⁡(a+2x)−sin⁡2ax.\lim_{x\to0}\frac{\sin(a+x)\sin(a+2x)-\sin^2a}{x}.

Опирается на

Решение

Преобразуем числитель, добавив и вычтя sin⁡asin⁡(a+x)\sin a\sin(a+x): sin⁡(a+x)sin⁡(a+2x)−sin⁡2a\sin(a+x)\sin(a+2x)-\sin^2a =sin⁡(a+x)[sin⁡(a+2x)−sin⁡a]+sin⁡a[sin⁡(a+x)−sin⁡a].=
\sin(a+x)\left[\sin(a+2x)-\sin a\right]
+
\sin a\left[\sin(a+x)-\sin a\right]. Тогда
sin⁡(a+x)sin⁡(a+2x)−sin⁡2ax=sin⁡(a+x)sin⁡(a+2x)−sin⁡ax+sin⁡asin⁡(a+x)−sin⁡ax.\frac{\sin(a+x)\sin(a+2x)-\sin^2a}{x}
=
\sin(a+x)
\frac{\sin(a+2x)-\sin a}{x}
+
\sin a
\frac{\sin(a+x)-\sin a}{x}.
Для первой дроби выделим 2x2x: sin⁡(a+2x)−sin⁡ax=2sin⁡(a+2x)−sin⁡a2x.\frac{\sin(a+2x)-\sin a}{x} = 2\frac{\sin(a+2x)-\sin a}{2x}.

По результату задачи lim⁡t→0sin⁡(a+t)−sin⁡at=cos⁡a.\lim_{t\to0} \frac{\sin(a+t)-\sin a}{t} = \cos a. Отсюда sin⁡(a+2x)−sin⁡ax→2cos⁡a,\frac{\sin(a+2x)-\sin a}{x}\to2\cos a, а sin⁡(a+x)−sin⁡ax→cos⁡a.\frac{\sin(a+x)-\sin a}{x}\to\cos a.

Кроме того, sin⁡(a+x)→sin⁡a.\sin(a+x)\to\sin a.

Проверка

lim⁡x→0sin⁡(a+x)sin⁡(a+2x)−sin⁡2ax=2sin⁡acos⁡a+sin⁡acos⁡a=3sin⁡acos⁡a.\lim_{x\to0}
\frac{\sin(a+x)\sin(a+2x)-\sin^2a}{x}
=
2\sin a\cos a+\sin a\cos a
=
3\sin a\cos a
.