Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 509

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 509

lim⁡n→∞(sin⁡n2πn3n+1).\lim_{n\to\infty}\left(\sin^{n}\frac{2\pi n}{3n+1}\right).

Решение

Рассмотрим угол:2πn3n+1=2π3+1n→2π3.\frac{2\pi n}{3n+1}
=
\frac{2\pi}{3+\frac1n}
\to\frac{2\pi}{3}.Отсюдаsin⁡2πn3n+1→sin⁡2π3=32.\sin\frac{2\pi n}{3n+1}
\to
\sin\frac{2\pi}{3}
=
\frac{\sqrt3}{2}.Так как 0<32<10<\frac{\sqrt3}{2}<1, выберем q=(1+3/2)/2q=(1+\sqrt3/2)/2, то есть середину промежутка между пределом основания и единицей. Тогда 3/2<q<1\sqrt3/2<q<1, и начиная с некоторого номера0<sin⁡2πn3n+1<q.0<
\sin\frac{2\pi n}{3n+1}
<
q.Тогда0<sin⁡n2πn3n+1<qn.0<
\sin^n\frac{2\pi n}{3n+1}
<
q^n.Поскольку qn→0q^n\to0, по теореме о зажатой последовательностиlim⁡n→∞sin⁡n2πn3n+1=0.\lim_{n\to\infty}
\sin^n\frac{2\pi n}{3n+1}
=
0
.