Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 502

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 502

lim⁡x→01−cos⁡x21−cos⁡x.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}.

Решение

Идея

Используем формулу 1−cos⁡t=2sin⁡2t2.1-\cos t=2\sin^2\frac t2. Для числителя получаем 1−cos⁡x2=2sin⁡2x22.1-\cos x^2 = 2\sin^2\frac{x^2}{2}. Так как при x→0x\to0 величина x22≥0\dfrac{x^2}{2}\geq0 и достаточно мала, 1−cos⁡x2=2 sin⁡x22.\sqrt{1-\cos x^2} = \sqrt2\,\sin\frac{x^2}{2}. Для знаменателя 1−cos⁡x=2sin⁡2x2.1-\cos x = 2\sin^2\frac x2. Отсюда 1−cos⁡x21−cos⁡x=2 sin⁡x222sin⁡2x2.\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}
=
\frac{
\sqrt2\,\sin\frac{x^2}{2}
}{
2\sin^2\frac x2
}. Преобразуем выражение так, чтобы появились первые замечательные пределы: 2 sin⁡x222sin⁡2x2=2 sin⁡x22x22(sin⁡x2x2)2.\frac{
\sqrt2\,\sin\frac{x^2}{2}
}{
2\sin^2\frac x2
}
=
\sqrt2\,
\frac{
\dfrac{\sin\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}}
}{
\left(
\dfrac{\sin\frac x2}{\frac x2}
\right)^2
}. При x→0x\to0 x22→0,x2→0,\frac{x^2}{2}\to0, \quad \frac x2\to0, поэтому обе дроби вида sin⁡tt\dfrac{\sin t}{t} стремятся к 11.
lim⁡x→01−cos⁡x21−cos⁡x=2.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}
=
\sqrt2
}.
Демидович № 502 — решение