Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 526

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить предел

\lim_{x\to0}\sqrt[x]{\cos\sqrt{x}}

Ответ:

\dfrac1{\sqrt e}

Решение

Идея

Из-за корня

\sqrt{x}

рассматриваем правую полуокрестность нуля. При
достаточно малом

x>0

основание степени положительно. Обозначим

Проверка

y(x)=\sqrt[x]{\cos\sqrt{x}}

Тогда

\begin{aligned} \ln y(x) &=\frac{\ln\cos\sqrt{x}}{x}=\\ &=\frac{\ln\cos t}{t^2}, \qquad t=\sqrt{x}\to0\end{aligned}

Используем эквивалентности

\ln(1+u)\sim u, \qquad \cos t-1\sim-\frac{t^2}{2}

Получаем

\ln\cos t =\ln\bigl(1+(\cos t-1)\bigr) \sim-\frac{t^2}{2}

Следовательно,

\lim_{x\to0^+}\ln y(x)=-\frac12

Переходя от логарифма к самой функции, находим

\lim_{x\to0^+}y(x)=e^{-1/2}=\frac1{\sqrt e}