Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 526

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 526

Вычислить пределlim⁡x→0cos⁡xx\lim_{x\to0}\sqrt[x]{\cos\sqrt{x}}
Ответ:1e\dfrac1{\sqrt e}

Решение

Из-за x\sqrt x рассматриваем x→0+x\to0+; при достаточно малом x>0x>0 косинус положителен. Положим t=xt=\sqrt x, тогда x=t2x=t^2. Обозначим исходную степень через yy. Имеем
ln⁡y=ln⁡cos⁡tt2.\ln y=\frac{\ln\cos t}{t^2}.Оценим логарифм непосредственно. Из доказанного в №368в неравенства ln⁡z⩽z−1\ln z\leqslant z-1 и его применения к 1/z1/z следуетz−1z⩽ln⁡z⩽z−1(z>0).\frac{z-1}{z}\leqslant\ln z\leqslant z-1\quad(z>0).При z=cos⁡tz=\cos t делим эти неравенства на t2>0t^2>0:cos⁡t−1t2cos⁡t⩽ln⁡cos⁡tt2⩽cos⁡t−1t2.\frac{\cos t-1}{t^2\cos t}\leqslant\frac{\ln\cos t}{t^2}
\leqslant\frac{\cos t-1}{t^2}.По №474а правая граница стремится к −1/2-1/2, а левая имеет тот же предел, поскольку cos⁡t→1\cos t\to1. Следовательно,lim⁡t→0ln⁡cos⁡tt2=−12.\lim_{t\to0}\frac{\ln\cos t}{t^2}=-\frac12.Оценки верны с обеих сторон от нуля, хотя в нашей задаче t>0t>0. По переходу от логарифма к числу, обоснованному в №506, получаемlim⁡x→0+(cos⁡x)1/x=e−1/2=1e.\lim_{x\to0+}(\cos\sqrt x)^{1/x}=e^{-1/2}=\frac1{\sqrt e}.