Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 530

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 530

Вычислить пределlim⁡x→+∞x [ln⁡(x+1)−ln⁡x]\lim_{x\to+\infty}x\,[\ln(x+1)-\ln x]
Ответ:11

Решение

Объединим логарифмы:x [ln⁡(x+1)−ln⁡x]=\displaystyle x\,[\ln(x+1)-\ln x]\mathrel{=}xln⁡x+1x=\displaystyle x\ln\frac{x+1}{x}\mathrel{=}xln⁡(1+1x)\displaystyle x\ln\left(1+\frac1x\right)Полагая t=1/xt=1/x, получаем t→0+t\to0^+ иxln⁡(1+1x)=ln⁡(1+t)t⟶1x\ln\left(1+\frac1x\right)
=\frac{\ln(1+t)}{t}\longrightarrow1