Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 517

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to0}(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2 x}.

Решение

Имеем неопределенность вида

1^\infty

1+x^2\to1,\quad\operatorname{ctg}^2x\to+\infty.

Преобразуем выражение:

(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2x}=\left[(1+x^2)^{1/x^2}\right]^{x^2\operatorname{ctg}^2x}.

Положим

t=x^2

. При

x\to0

имеем

t\to0

, поэтому

(1+x^2)^{1/x^2}=(1+t)^{1/t}\to e.

Рассмотрим показатель:

x^2\operatorname{ctg}^2x=\left(\frac{x\cos x}{\sin x}\right)^2=\left(\frac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}}\right)^2\to1.

Поэтому

\boxed{\lim_{x\to0}(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2x}=e}.