Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 517

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 517

lim⁡x→0(1+x2)ctg⁡2x.\lim_{x\to0}(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2 x}.

Решение

Имеем неопределенность вида 1∞1^\infty:1+x2→1,ctg⁡2x→+∞.1+x^2\to1,
\quad
\operatorname{ctg}^2x\to+\infty.Преобразуем выражение:(1+x2)ctg⁡2x=[(1+x2)1/x2]x2ctg⁡2x.(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2x}
=
\left[
(1+x^2)^{1/x^2}
\right]^{x^2\operatorname{ctg}^2x}.Положим t=x2t=x^2. При x→0x\to0 имеем t→0t\to0, поэтому(1+x2)1/x2=(1+t)1/t→e.(1+x^2)^{1/x^2}
=
(1+t)^{1/t}\to e.Рассмотрим показатель:x2ctg⁡2x=(xcos⁡xsin⁡x)2=(cos⁡xsin⁡xx)2→1.x^2\operatorname{ctg}^2x
=
\left(
\frac{x\cos x}{\sin x}
\right)^2
=
\left(
\frac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}}
\right)^2
\to1.Поэтомуlim⁡x→0(1+x2)ctg⁡2x=e.\lim_{x\to0}
(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2x}
=
e
.