Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 523

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 523

lim⁡x→π2(sin⁡x)tg⁡x.\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\operatorname{tg} x}.

Решение

Идея

При x→π2x\to\dfrac\pi2 sin⁡x→1\sin x\to1, а tg⁡x\operatorname{tg}x неограниченно возрастает по модулю. Приведем выражение ко второму замечательному пределу:(sin⁡x)tg⁡x=[(1+(sin⁡x−1))1sin⁡x−1](sin⁡x−1)tg⁡x.(\sin x)^{\operatorname{tg}x}
=
\left[
\left(1+(\sin x-1)\right)^{\frac1{\sin x-1}}
\right]^{
(\sin x-1)\operatorname{tg}x
}.Положимt=sin⁡x−1.t=\sin x-1.При x→π2x\to\dfrac\pi2 имеем t→0t\to0, поэтому первая скобка имеет вид(1+t)1/t→e.(1+t)^{1/t}\to e.
Используем1−sin⁡x=cos⁡2x1+sin⁡x.1-\sin x
=
\frac{\cos^2x}{1+\sin x}.Тогда(sin⁡x−1)tg⁡x=−cos⁡2x1+sin⁡x⋅sin⁡xcos⁡x=−sin⁡xcos⁡x1+sin⁡x→0.(\sin x-1)\operatorname{tg}x
=
-\frac{\cos^2x}{1+\sin x}
\cdot
\frac{\sin x}{\cos x}
=
-\frac{\sin x\cos x}{1+\sin x}
\to0.Поэтомуlim⁡x→π2(sin⁡x)tg⁡x=e0=1.\boxed{
\lim_{x\to\frac\pi2}
(\sin x)^{\operatorname{tg}x}
=
e^0=1
}.
Демидович № 523 — решение