Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 499

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 499

lim⁡x→01+tg⁡x−1+sin⁡xx3.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}.

Опирается на задачу 475

Решение

Идея

При x→0x\to0 числитель стремится к нулю. Умножим разность корней на сопряженное выражение: 1+tg⁡x−1+sin⁡x\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin x} =(1+tg⁡x)−(1+sin⁡x)1+tg⁡x+1+sin⁡x=tg⁡x−sin⁡x1+tg⁡x+1+sin⁡x.=
\frac{
(1+\operatorname{tg}x)-(1+\sin x)
}{
\sqrt{1+\operatorname{tg}x}+\sqrt{1+\sin x}
}
=
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}
{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}+\sqrt{1+\sin x}}. Отсюда 1+tg⁡x−1+sin⁡xx3\frac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3} =tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x(sin⁡xx)311+tg⁡x+1+sin⁡x.=
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3x}
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3
\frac1{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}+\sqrt{1+\sin x}}. Из задачи 475 tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x→12.\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3x}\to\frac12. По первому замечательному пределу sin⁡xx→1.\frac{\sin x}{x}\to1. Кроме того, 1+tg⁡x+1+sin⁡x→2.\sqrt{1+\operatorname{tg}x}+\sqrt{1+\sin x}\to2.
lim⁡x→01+tg⁡x−1+sin⁡xx3=12⋅1⋅12=14.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}
=
\frac12\cdot1\cdot\frac12
=
\frac14
}.
Демидович № 499 — решение