Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 514

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 514

lim⁡x→01−2xx.\lim_{x\to0}\sqrt[x]{1-2x}.

Решение

Запишем корень в виде степени:1−2xx=(1−2x)1/x.\sqrt[x]{1-2x}
=
(1-2x)^{1/x}.Получаем неопределенность вида 1∞1^\infty. Преобразуем показатель:1x=−2⋅1−2x.\frac1x
=
-2\cdot\frac1{-2x}.Тогда(1−2x)1/x=[(1−2x)1−2x]−2.(1-2x)^{1/x}
=
\left[
(1-2x)^{\frac1{-2x}}
\right]^{-2}.Положим t=−2xt=-2x. При x→0x\to0 имеем t→0t\to0, а(1−2x)1−2x=(1+t)1/t→e.(1-2x)^{\frac1{-2x}}
=
(1+t)^{1/t}\to e.Поэтомуlim⁡x→01−2xx=e−2=1e2.\lim_{x\to0}\sqrt[x]{1-2x}
=
e^{-2}
=
\frac1{e^2}
.