Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 529

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 529

Вычислить пределlim⁡x→0ln⁡(1+x)x\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}
Ответ:11

Решение

Используем неравенства для логарифма, выведенные в №526:
z−1z⩽ln⁡z⩽z−1(z>0).\frac{z-1}{z}\leqslant\ln z\leqslant z-1\qquad(z>0).Подставим z=1+xz=1+x, где x>−1x>-1:x1+x⩽ln⁡(1+x)⩽x.\frac{x}{1+x}\leqslant\ln(1+x)\leqslant x.При x>0x>0 деление на xx сохраняет знаки:11+x⩽ln⁡(1+x)x⩽1.\frac1{1+x}\leqslant\frac{\ln(1+x)}x\leqslant1.При −1<x<0-1<x<0 знаки меняются:1⩽ln⁡(1+x)x⩽11+x.1\leqslant\frac{\ln(1+x)}x\leqslant\frac1{1+x}.В обоих случаях границы стремятся к 11. По теореме о зажатой функцииlim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1.\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1.