Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 498

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 498

lim⁡x→π41−ctg⁡3x2−ctg⁡x−ctg⁡3x.\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{1-\operatorname{ctg}^3x}{2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x}.

Решение

При x→π4x\to\dfrac\pi4 ctg⁡x→1,\operatorname{ctg}x\to1, поэтому числитель и знаменатель стремятся к нулю.
Разложим числитель по формуле разности кубов: 1−ctg⁡3x=(1−ctg⁡x)(1+ctg⁡x+ctg⁡2x).1-\operatorname{ctg}^3x
=
(1-\operatorname{ctg}x)
(1+\operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}^2x). Знаменатель также имеет множитель 1−ctg⁡x1-\operatorname{ctg}x: 2−ctg⁡x−ctg⁡3x=(1−ctg⁡x)(ctg⁡2x+ctg⁡x+2).2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x
=
(1-\operatorname{ctg}x)
(\operatorname{ctg}^2x+\operatorname{ctg}x+2). Действительно, (1−ctg⁡x)(ctg⁡2x+ctg⁡x+2)(1-\operatorname{ctg}x) (\operatorname{ctg}^2x+\operatorname{ctg}x+2) =ctg⁡2x+ctg⁡x+2−ctg⁡3x−ctg⁡2x−2ctg⁡x=2−ctg⁡x−ctg⁡3x.=
\operatorname{ctg}^2x+\operatorname{ctg}x+2
-\operatorname{ctg}^3x-\operatorname{ctg}^2x-2\operatorname{ctg}x
=
2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x. Тогда 1−ctg⁡3x2−ctg⁡x−ctg⁡3x=1+ctg⁡x+ctg⁡2xctg⁡2x+ctg⁡x+2.\frac{1-\operatorname{ctg}^3x}
{2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x}
=
\frac{
1+\operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}^2x
}{
\operatorname{ctg}^2x+\operatorname{ctg}x+2
}. Переходим к пределу: lim⁡x→π41−ctg⁡3x2−ctg⁡x−ctg⁡3x=1+1+11+1+2=34.\lim_{x\to\frac\pi4}
\frac{1-\operatorname{ctg}^3x}
{2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x}
=
\frac{1+1+1}{1+1+2}
=
\frac34
.