Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 498

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{1-\operatorname{ctg}^3x}{2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x}.

Решение

Идея

При

x\to\dfrac\pi4

\operatorname{ctg}x\to1,

поэтому числитель и знаменатель стремятся к нулю.

Разложим числитель по формуле разности кубов:

1-\operatorname{ctg}^3x=(1-\operatorname{ctg}x)(1+\operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}^2x).

Знаменатель также имеет множитель

1-\operatorname{ctg}x

2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x=(1-\operatorname{ctg}x)(\operatorname{ctg}^2x+\operatorname{ctg}x+2).

Действительно,

(1-\operatorname{ctg}x) (\operatorname{ctg}^2x+\operatorname{ctg}x+2)

=\operatorname{ctg}^2x+\operatorname{ctg}x+2-\operatorname{ctg}^3x-\operatorname{ctg}^2x-2\operatorname{ctg}x=2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x.

Тогда

\frac{1-\operatorname{ctg}^3x}{2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x}=\frac{1+\operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}^2x}{\operatorname{ctg}^2x+\operatorname{ctg}x+2}.

Переходим к пределу:

\boxed{\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{1-\operatorname{ctg}^3x}{2-\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}^3x}=\frac{1+1+1}{1+1+2}=\frac34}.