Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 511

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 511

lim⁡x→∞(x2−1x2+1)x−1x+1.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{x-1}{x+1}}.

Решение

Идея

При достаточно больших ∣x∣|x| основание положительно. Имеем
x2−1x2+1=1−1x21+1x2→1,x−1x+1=1−1x1+1x→1.\frac{x^2-1}{x^2+1}
=
\frac{1-\frac1{x^2}}{1+\frac1{x^2}}
\to1,
\quad
\frac{x-1}{x+1}
=
\frac{1-\frac1x}{1+\frac1x}
\to1.Поэтомуlim⁡x→∞(x2−1x2+1)x−1x+1=1.\boxed{
\lim_{x\to\infty}
\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{\frac{x-1}{x+1}}
=
1
}.
Демидович № 511 — решение