Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 513

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 513

lim⁡x→0(x2+2x−12x2−3x−2)1x.\lim_{x\to0}\left(\frac{x^2+2x-1}{2x^2-3x-2}\right)^{\frac1x}.

Решение

Сначала найдем предел основания:x2+2x−12x2−3x−2→12.\frac{x^2+2x-1}{2x^2-3x-2}
\to
\frac12.При достаточно малых ∣x∣|x| основание положительно и близко к 12\dfrac12. В частности, в достаточно малой окрестности нуля основание A(x)A(x) удовлетворяет 0<A(x)<3/4<10<A(x)<3/4<1. При x>0x>0 имеем 0<A(x)1/x<(3/4)1/x→00<A(x)^{1/x}<(3/4)^{1/x}\to0. При x<0x<0 показатель отрицателен, поэтому A(x)1/x>(3/4)1/x=(4/3)−1/x→+∞A(x)^{1/x}>(3/4)^{1/x}=(4/3)^{-1/x}\to+\infty. Эти оценки обосновывают оба односторонних результата.
Рассмотрим односторонние пределы.

При x→+0x\to+0 1x→+∞\frac1x\to+\infty, а основание стремится к числу 12<1\dfrac12<1. Поэтомуlim⁡x→+0(x2+2x−12x2−3x−2)1/x=0.\lim_{x\to+0}
\left(
\frac{x^2+2x-1}{2x^2-3x-2}
\right)^{1/x}
=0.При x→−0x\to-0 1x→−∞\frac1x\to-\infty. Перепишем выражение:(x2+2x−12x2−3x−2)1/x=(2x2−3x−2x2+2x−1)−1/x.\left(
\frac{x^2+2x-1}{2x^2-3x-2}
\right)^{1/x}
=
\left(
\frac{2x^2-3x-2}{x^2+2x-1}
\right)^{-1/x}.Основание новой степени стремится к 2>12>1, а −1x→+∞-\frac1x\to+\infty. Поэтомуlim⁡x→−0(x2+2x−12x2−3x−2)1/x=+∞.\lim_{x\to-0}
\left(
\frac{x^2+2x-1}{2x^2-3x-2}
\right)^{1/x}
=
+\infty.

Проверка

Односторонние пределы различны, поэтомуlim⁡x→0(x2+2x−12x2−3x−2)1/x не существует.\lim_{x\to0}
\left(
\frac{x^2+2x-1}{2x^2-3x-2}
\right)^{1/x}
\text{ не существует}
.