Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 507

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 507

lim⁡x→∞(x+22x−1)x2.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+2}{2x-1}\right)^{x^2}.

Решение

Рассмотрим основание:x+22x−1=1+2x2−1x→12.\frac{x+2}{2x-1}
=
\frac{1+\frac2x}{2-\frac1x}
\to\frac12.Итак, основание стремится к положительному числу, меньшему 11, а x2→+∞x^2\to+\infty. Выберем постоянное число между 1/21/2 и 11: q=(1/2+1)/2=3/4q=(1/2+1)/2=3/4. По определению предела при достаточно больших ∣x∣|x| выполняется0<x+22x−1<34.0<\frac{x+2}{2x-1}<\frac34.Тогда0<(x+22x−1)x2<(34)x2.0<
\left(\frac{x+2}{2x-1}\right)^{x^2}
<
\left(\frac34\right)^{x^2}.Так как (34)x2→0\left(\frac34\right)^{x^2}\to0, по теореме о зажатой функцииlim⁡x→∞(x+22x−1)x2=0.\lim_{x\to\infty}
\left(\frac{x+2}{2x-1}\right)^{x^2}
=
0
.