Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 494

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 494

lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x1−cos⁡x.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\cos2x\cos3x}{1-\cos x}.

Решение

Используем тождество 1−abc=(1−a)+a(1−b)+ab(1−c).1-abc=(1-a)+a(1-b)+ab(1-c). В нашем случае 1−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x1-\cos x\cos2x\cos3x =(1−cos⁡x)+cos⁡x(1−cos⁡2x)+cos⁡xcos⁡2x(1−cos⁡3x).=
(1-\cos x)
+\cos x(1-\cos2x)
+\cos x\cos2x(1-\cos3x). Делим на 1−cos⁡x1-\cos x: 1−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x1−cos⁡x\frac{1-\cos x\cos2x\cos3x}{1-\cos x} =1+cos⁡x1−cos⁡2x1−cos⁡x+cos⁡xcos⁡2x1−cos⁡3x1−cos⁡x.=
1
+\cos x\frac{1-\cos2x}{1-\cos x}
+\cos x\cos2x\frac{1-\cos3x}{1-\cos x}.
1−cos⁡2x1−cos⁡x=2sin⁡2x2sin⁡2x2=(sin⁡xsin⁡x2)2.\frac{1-\cos2x}{1-\cos x}
=
\frac{2\sin^2x}{2\sin^2\frac x2}
=
\left(
\frac{\sin x}{\sin\frac x2}
\right)^2. Преобразуем отношение синусов: sin⁡xsin⁡x2=2 sin⁡xxsin⁡x2x2.\frac{\sin x}{\sin\frac x2}
=
2\,
\frac{\dfrac{\sin x}{x}}
{\dfrac{\sin\frac x2}{\frac x2}}. По первому замечательному пределу это отношение стремится к 22, поэтому 1−cos⁡2x1−cos⁡x→4.\frac{1-\cos2x}{1-\cos x}\to4.

Проверка

Аналогично, 1−cos⁡3x1−cos⁡x=2sin⁡23x22sin⁡2x2=(sin⁡3x2sin⁡x2)2.\frac{1-\cos3x}{1-\cos x}
=
\frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}
{2\sin^2\frac x2}
=
\left(
\frac{\sin\frac{3x}{2}}
{\sin\frac x2}
\right)^2. Причем sin⁡3x2sin⁡x2=3 sin⁡3x23x2sin⁡x2x2→3.\frac{\sin\frac{3x}{2}}
{\sin\frac x2}
=
3\,
\frac{\dfrac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}}
{\dfrac{\sin\frac x2}{\frac x2}}
\to3. Отсюда 1−cos⁡3x1−cos⁡x→9.\frac{1-\cos3x}{1-\cos x}\to9. Так как cos⁡x→1,cos⁡2x→1,\cos x\to1,\quad \cos2x\to1, откуда lim⁡x→01−cos⁡xcos⁡2xcos⁡3x1−cos⁡x=1+4+9=14.\lim_{x\to0}
\frac{1-\cos x\cos2x\cos3x}{1-\cos x}
=
1+4+9=14
.