Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 524

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 524

lim⁡x→0[tg⁡(π4−x)]ctg⁡x.\lim_{x\to0}\left[\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]^{\operatorname{ctg} x}.

Решение

При x→0x\to0tg⁡(π4−x)→1,ctg⁡x→∞,\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)\to1,
\quad
\operatorname{ctg}x\to\infty,то есть возникает неопределенность вида 1∞1^\infty.
Запишемtg⁡(π4−x)=1+[tg⁡(π4−x)−1].\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)
=
1+
\left[
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1
\right].Тогда[tg⁡(π4−x)]ctg⁡x=[(1+tg⁡(π4−x)−1)1tg⁡(π4−x)−1](tg⁡(π4−x)−1)ctg⁡x.\left[
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)
\right]^{\operatorname{ctg}x}
=
\left[
\left(
1+
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1
\right)^{
\frac1{
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1
}
}
\right]^{
\left(
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1
\right)\operatorname{ctg}x
}.Положимt=tg⁡(π4−x)−1.t=\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1.При x→0x\to0 имеем t→0t\to0, поэтому первая скобка имеет вид(1+t)1/t→e.(1+t)^{1/t}\to e.

Проверка

Используем формулуtg⁡(π4−x)=1−tg⁡x1+tg⁡x.\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)
=
\frac{1-\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}.Тогдаtg⁡(π4−x)−1=−2tg⁡x1+tg⁡x.\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1
=
-\frac{2\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}.Умножая на ctg⁡x=1tg⁡x\operatorname{ctg}x=\frac1{\operatorname{tg}x}, получаем(tg⁡(π4−x)−1)ctg⁡x=−21+tg⁡x→−2.\left(
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1
\right)\operatorname{ctg}x
=
-\frac2{1+\operatorname{tg}x}
\to-2.Поэтомуlim⁡x→0[tg⁡(π4−x)]ctg⁡x=e−2=1e2.\lim_{x\to0}
\left[
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)
\right]^{\operatorname{ctg}x}
=
e^{-2}
=
\frac1{e^2}
.