Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 524

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to0}\left[\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]^{\operatorname{ctg} x}.

Решение

Идея

При

x\to0

\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)\to1,\quad\operatorname{ctg}x\to\infty,

то есть возникает неопределенность вида

1^\infty

Запишем

\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)=1+\left[\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1\right].

Тогда

\left[\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)\right]^{\operatorname{ctg}x}=\left[\left(1+\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1\right)^{\frac1{\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1}}\right]^{\left(\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1\right)\operatorname{ctg}x}.

Положим

t=\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1.

При

x\to0

имеем

t\to0

, поэтому первая скобка имеет вид

(1+t)^{1/t}\to e.

Проверка

Используем формулу

\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)=\frac{1-\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}.

Тогда

\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1=-\frac{2\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}.

Умножая на

\operatorname{ctg}x=\frac1{\operatorname{tg}x}

, получаем

\left(\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)-1\right)\operatorname{ctg}x=-\frac2{1+\operatorname{tg}x}\to-2.

Поэтому

\boxed{\lim_{x\to0}\left[\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)\right]^{\operatorname{ctg}x}=e^{-2}=\frac1{e^2}}.