Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 522

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 522

lim⁡x→π4(tg⁡x)tg⁡2x.\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}(\operatorname{tg} x)^{\operatorname{tg} 2x}.

Решение

Идея

При x→π4x\to\dfrac\pi4 tg⁡x→1\operatorname{tg}x\to1, tg⁡2x→∞\operatorname{tg}2x\to\infty, поэтому имеем неопределенность вида 1∞1^\infty.
Запишем tg⁡x=1+(tg⁡x−1)\operatorname{tg}x=1+(\operatorname{tg}x-1). Тогда(tg⁡x)tg⁡2x=[(1+tg⁡x−1)1tg⁡x−1](tg⁡x−1)tg⁡2x.(\operatorname{tg}x)^{\operatorname{tg}2x}
=
\left[
(1+\operatorname{tg}x-1)^{\frac1{\operatorname{tg}x-1}}
\right]^{
(\operatorname{tg}x-1)\operatorname{tg}2x
}.Положимt=tg⁡x−1.t=\operatorname{tg}x-1.При x→π4x\to\dfrac\pi4 имеем t→0t\to0, поэтому первая скобка имеет вид(1+t)1/t→e.(1+t)^{1/t}\to e.

Проверка

Используем формулу двойного угла:tg⁡2x=2tg⁡x1−tg⁡2x.\operatorname{tg}2x
=
\frac{2\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x}.Отсюда(tg⁡x−1)tg⁡2x=−2tg⁡x1+tg⁡x→−1.(\operatorname{tg}x-1)\operatorname{tg}2x
=
-\frac{2\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}x}
\to-1.Поэтомуlim⁡x→π4(tg⁡x)tg⁡2x=e−1=1e.\boxed{
\lim_{x\to\frac\pi4}
(\operatorname{tg}x)^{\operatorname{tg}2x}
=
e^{-1}
=
\frac1e
}.
Демидович № 522 — решение