Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 486

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 486

lim⁡x→asec⁡x−sec⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\sec x-\sec a}{x-a}.

Опирается на задачу 483

Решение

Пусть cos⁡a≠0\cos a\neq0.

По определению sec⁡x=1cos⁡x.\sec x=\frac1{\cos x}. Тогда sec⁡x−sec⁡a=1cos⁡x−1cos⁡a=cos⁡a−cos⁡xcos⁡xcos⁡a.\sec x-\sec a
=
\frac1{\cos x}-\frac1{\cos a}
=
\frac{\cos a-\cos x}{\cos x\cos a}. Отсюда sec⁡x−sec⁡ax−a=1cos⁡xcos⁡a⋅cos⁡a−cos⁡xx−a.\frac{\sec x-\sec a}{x-a}
=
\frac1{\cos x\cos a}
\cdot
\frac{\cos a-\cos x}{x-a}. Из задачи 483 cos⁡x−cos⁡ax−a→−sin⁡a.\frac{\cos x-\cos a}{x-a}\to-\sin a. Тогда cos⁡a−cos⁡xx−a→sin⁡a.\frac{\cos a-\cos x}{x-a}\to\sin a. Кроме того, cos⁡x→cos⁡a.\cos x\to\cos a.

Проверка

lim⁡x→asec⁡x−sec⁡ax−a=sin⁡acos⁡2a.\boxed{
\lim_{x\to a}
\frac{\sec x-\sec a}{x-a}
=
\frac{\sin a}{\cos^2a}
}.
Демидович № 486 — решение