Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 516

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 516

lim⁡x→+∞(a1x+b1a2x+b2)x,a1>0, a2>0.\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x,
\quad a_1>0,\ a_2>0.

Решение

Рассмотрим основание:a1x+b1a2x+b2=a1+b1xa2+b2x→a1a2.\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}
=
\frac{a_1+\frac{b_1}{x}}
{a_2+\frac{b_2}{x}}
\to
\frac{a_1}{a_2}.
Необходимо рассмотреть три случая.
Если a1<a2a_1<a_2.

Тогда 0<a1a2<10<\frac{a_1}{a_2}<1, то есть основание стремится к положительному числу, меньшему 11, а x→+∞x\to+\infty. Поэтомуlim⁡x→+∞(a1x+b1a2x+b2)x=0.\lim_{x\to+\infty}
\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x
=
0
.
Если a1>a2a_1>a_2.

Тогда a1a2>1\frac{a_1}{a_2}>1, поэтомуlim⁡x→+∞(a1x+b1a2x+b2)x=+∞.\lim_{x\to+\infty}
\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x
=
+\infty
.
Если a1=a2=a>0a_1=a_2=a>0.

Тогдаax+b1ax+b2=1+b1−b2ax+b2.\frac{ax+b_1}{ax+b_2}
=
1+\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}.Если b1≠b2b_1\neq b_2, то(1+b1−b2ax+b2)x=[(1+b1−b2ax+b2)ax+b2b1−b2]x(b1−b2)ax+b2.\left(
1+\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}
\right)^x
=
\left[
\left(
1+\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}
\right)^{\frac{ax+b_2}{b_1-b_2}}
\right]^{
\frac{x(b_1-b_2)}{ax+b_2}
}.Положимt=b1−b2ax+b2.t=\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}.При x→+∞x\to+\infty имеем t→0t\to0, а(1+b1−b2ax+b2)ax+b2b1−b2=(1+t)1/t→e.\left(
1+\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}
\right)^{\frac{ax+b_2}{b_1-b_2}}
=
(1+t)^{1/t}\to e.Кроме того,x(b1−b2)ax+b2=b1−b2a+b2x→b1−b2a.\frac{x(b_1-b_2)}{ax+b_2}
=
\frac{b_1-b_2}{a+\frac{b_2}{x}}
\to
\frac{b_1-b_2}{a}.Поэтомуlim⁡x→+∞(ax+b1ax+b2)x=eb1−b2a.\lim_{x\to+\infty}
\left(\frac{ax+b_1}{ax+b_2}\right)^x
=
e^{\frac{b_1-b_2}{a}}.Если b1=b2b_1=b_2, исходное выражение равно 11, что также соответствует этой формуле.

Проверка

Итак,lim⁡x→+∞(a1x+b1a2x+b2)x={0,a1<a2,+∞,a1>a2,eb1−b2a1,a1=a2.\lim_{x\to+\infty}
\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x
=
\begin{cases}
0,&a_1<a_2,\\[2mm]
+\infty,&a_1>a_2,\\[2mm]
e^{\frac{b_1-b_2}{a_1}},&a_1=a_2.
\end{cases}