Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 516

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x,\quad a_1>0,\ a_2>0.

Решение

Идея

Рассмотрим основание:

\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}=\frac{a_1+\frac{b_1}{x}}{a_2+\frac{b_2}{x}}\to\frac{a_1}{a_2}.

1
Необходимо рассмотреть три случая.
2
Если $a_1<a_2$ .

Тогда $0<\frac{a_1}{a_2}<1$ , то есть основание стремится к положительному числу, меньшему $1$ , а $x\to+\infty$ . Поэтому $\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x=0}.$
3
Если $a_1>a_2$ .

Тогда $\frac{a_1}{a_2}>1$ , поэтому $\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x=+\infty}.$
4
Если $a_1=a_2=a>0$ .

Тогда $\frac{ax+b_1}{ax+b_2}=1+\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}.$ Если $b_1\neq b_2$ , то $\left(1+\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}\right)^x=\left[\left(1+\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}\right)^{\frac{ax+b_2}{b_1-b_2}}\right]^{\frac{x(b_1-b_2)}{ax+b_2}}.$ Положим $t=\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}.$ При $x\to+\infty$ имеем $t\to0$ , а $\left(1+\frac{b_1-b_2}{ax+b_2}\right)^{\frac{ax+b_2}{b_1-b_2}}=(1+t)^{1/t}\to e.$ Кроме того, $\frac{x(b_1-b_2)}{ax+b_2}=\frac{b_1-b_2}{a+\frac{b_2}{x}}\to\frac{b_1-b_2}{a}.$ Поэтому $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{ax+b_1}{ax+b_2}\right)^x=e^{\frac{b_1-b_2}{a}}.$ Если $b_1=b_2$ , исходное выражение равно $1$ , что также соответствует этой формуле.

Проверка

Итак,

\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}\right)^x=\begin{cases}0,&a_1<a_2,\\[2mm]+\infty,&a_1>a_2,\\[2mm]e^{\frac{b_1-b_2}{a_1}},&a_1=a_2.\end{cases}}