Демидович — задача 481

1. 1

   Пункт а)

   Докажем, что$$\lim_{x\to a}\sin x=\sin a.$$Рассмотрим разность$$\sin x-\sin a.$$Используем формулу$$\sin\alpha-\sin\beta$$
   =
   2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
   \sin\frac{\alpha-\beta}{2}.Отсюда$$\sin x-\sin a$$
   =
   2\cos\frac{x+a}{2}
   \sin\frac{x-a}{2}.При $x\to a$$$\frac{x-a}{2}\to0.$$Из первого замечательного предела$$\frac{\sin t}{t}\to1$$следует, что$$\sin t$$
   =
   t\frac{\sin t}{t}\to0.Тогда$$\sin\frac{x-a}{2}\to0.$$При этом$$\left|\cos\frac{x+a}{2}\right|\leq1.$$$$\sin x-\sin a\to0.$$Значит,$$\boxed{$$
   \lim_{x\to a}\sin x=\sin a
   }.
2. 2

   Пункт б)

   Докажем, что$$\lim_{x\to a}\cos x=\cos a.$$Используем формулу$$\cos\alpha-\cos\beta$$
   =
   -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
   \sin\frac{\alpha-\beta}{2}.Тогда$$\cos x-\cos a$$
   =
   -2\sin\frac{x+a}{2}
   \sin\frac{x-a}{2}.При $x\to a$$$\frac{x-a}{2}\to0,$$поэтому, как следует из первого замечательного предела,$$\sin\frac{x-a}{2}\to0.$$Кроме того,$$\left|\sin\frac{x+a}{2}\right|\leq1.$$$$\cos x-\cos a\to0.$$Значит,$$\boxed{$$
   \lim_{x\to a}\cos x=\cos a
   }.
3. 3

   Пункт в)

   Пусть$$a\neq\frac{2n-1}{2}\pi,$$
   \quad
   n=0,\pm1,\pm2,\ldotsТогда$$\cos a\neq0.$$По определению$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$Из пунктов а) и б) уже доказано, что$$\sin x\to\sin a,$$
   \quad
   \cos x\to\cos a.Поскольку $\cos a\neq0$, по теореме о пределе отношения$$\lim_{x\to a}\operatorname{tg}x$$
   =
   \lim_{x\to a}\frac{\sin x}{\cos x}
   =
   \frac{\sin a}{\cos a}.

Что и требовалось доказать