Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 482

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 482

lim⁡x→asin⁡x−sin⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\sin x-\sin a}{x-a}.

Опирается на задачу 481

Решение

Идея

Используем формулу разности синусов: sin⁡x−sin⁡a=2cos⁡x+a2sin⁡x−a2.\sin x-\sin a = 2\cos\frac{x+a}{2} \sin\frac{x-a}{2}. Тогда sin⁡x−sin⁡ax−a=2cos⁡x+a2sin⁡x−a2x−a.\frac{\sin x-\sin a}{x-a}
=
\frac{
2\cos\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2}
}{x-a}. Так как x−a=2⋅x−a2,x-a=2\cdot\frac{x-a}{2}, откуда sin⁡x−sin⁡ax−a=cos⁡x+a2⋅sin⁡x−a2x−a2.\frac{\sin x-\sin a}{x-a}
=
\cos\frac{x+a}{2}
\cdot
\frac{
\sin\frac{x-a}{2}
}{
\frac{x-a}{2}
}. При x→ax\to a x+a2→a,x−a2→0.\frac{x+a}{2}\to a, \quad \frac{x-a}{2}\to0. По задаче 481 cos⁡x+a2→cos⁡a,\cos\frac{x+a}{2}\to\cos a, а по первому замечательному пределу sin⁡x−a2x−a2→1.\frac{
\sin\frac{x-a}{2}
}{
\frac{x-a}{2}
}
\to1.
lim⁡x→asin⁡x−sin⁡ax−a=cos⁡a.\boxed{
\lim_{x\to a}
\frac{\sin x-\sin a}{x-a}
=
\cos a
}.
Демидович № 482 — решение