Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 484

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 484

lim⁡x→atg⁡x−tg⁡ax−a.\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}a}{x-a}.

Решение

Пусть cos⁡a≠0\cos a\neq0.
Преобразуем разность тангенсов: tg⁡x−tg⁡a=sin⁡xcos⁡x−sin⁡acos⁡a.\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}a
=
\frac{\sin x}{\cos x}
-
\frac{\sin a}{\cos a}. Приводим к общему знаменателю: tg⁡x−tg⁡a=sin⁡xcos⁡a−cos⁡xsin⁡acos⁡xcos⁡a.\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}a
=
\frac{\sin x\cos a-\cos x\sin a}
{\cos x\cos a}. По формуле синуса разности sin⁡xcos⁡a−cos⁡xsin⁡a=sin⁡(x−a).\sin x\cos a-\cos x\sin a = \sin(x-a). Тогда tg⁡x−tg⁡ax−a=sin⁡(x−a)(x−a)cos⁡xcos⁡a.\frac{\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}a}{x-a}
=
\frac{\sin(x-a)}
{(x-a)\cos x\cos a}. Разделим выражение на два множителя: tg⁡x−tg⁡ax−a=sin⁡(x−a)x−a⋅1cos⁡xcos⁡a.\frac{\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}a}{x-a}
=
\frac{\sin(x-a)}{x-a}
\cdot
\frac1{\cos x\cos a}. При x→ax\to a x−a→0,x-a\to0, поэтому по первому замечательному пределу sin⁡(x−a)x−a→1.\frac{\sin(x-a)}{x-a}\to1. Кроме того, cos⁡x→cos⁡a.\cos x\to\cos a.

Проверка

lim⁡x→atg⁡x−tg⁡ax−a=1cos⁡2a.\lim_{x\to a}
\frac{\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}a}{x-a}
=
\frac1{\cos^2a}
.