Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 497

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 497

lim⁡x→0tg⁡(a+x)tg⁡(a−x)−tg⁡2ax2.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(a+x)\operatorname{tg}(a-x)-\operatorname{tg}^2a}{x^2}.

Решение

Считаем, что cos⁡a≠0\cos a\neq0.

Запишем произведение тангенсов через синусы и косинусы: tg⁡(a+x)tg⁡(a−x)=sin⁡(a+x)sin⁡(a−x)cos⁡(a+x)cos⁡(a−x).\operatorname{tg}(a+x)\operatorname{tg}(a-x)
=
\frac{\sin(a+x)\sin(a-x)}
{\cos(a+x)\cos(a-x)}.Раскроем синусы и косинусы суммы и разности:sin⁡(a+x)sin⁡(a−x)=\displaystyle \sin(a+x)\sin(a-x)\mathrel{=}(sin⁡acos⁡x+cos⁡asin⁡x)(sin⁡acos⁡x−cos⁡asin⁡x)=\displaystyle (\sin a\cos x+\cos a\sin x)(\sin a\cos x-\cos a\sin x)\mathrel{=}sin⁡2acos⁡2x−cos⁡2asin⁡2x=\displaystyle \sin^2a\cos^2x-\cos^2a\sin^2x\mathrel{=}sin⁡2a(1−sin⁡2x)−cos⁡2asin⁡2x=\displaystyle \sin^2a(1-\sin^2x)-\cos^2a\sin^2x\mathrel{=}sin⁡2a−sin⁡2x(sin⁡2a+cos⁡2a)=\displaystyle \sin^2a-\sin^2x(\sin^2a+\cos^2a)\mathrel{=}sin⁡2a−sin⁡2x.\displaystyle \sin^2a-\sin^2x.Аналогично,cos⁡(a+x)cos⁡(a−x)=\displaystyle \cos(a+x)\cos(a-x)\mathrel{=}(cos⁡acos⁡x−sin⁡asin⁡x)(cos⁡acos⁡x+sin⁡asin⁡x)=\displaystyle (\cos a\cos x-\sin a\sin x)(\cos a\cos x+\sin a\sin x)\mathrel{=}cos⁡2acos⁡2x−sin⁡2asin⁡2x=\displaystyle \cos^2a\cos^2x-\sin^2a\sin^2x\mathrel{=}cos⁡2a(1−sin⁡2x)−sin⁡2asin⁡2x=\displaystyle \cos^2a(1-\sin^2x)-\sin^2a\sin^2x\mathrel{=}cos⁡2a−sin⁡2x(cos⁡2a+sin⁡2a)=\displaystyle \cos^2a-\sin^2x(\cos^2a+\sin^2a)\mathrel{=}cos⁡2a−sin⁡2x.\displaystyle \cos^2a-\sin^2x.Поэтомуtg⁡(a+x)tg⁡(a−x)=sin⁡2a−sin⁡2xcos⁡2a−sin⁡2x.\operatorname{tg}(a+x)\operatorname{tg}(a-x)
=
\frac{\sin^2a-\sin^2x}
{\cos^2a-\sin^2x}.Вычитаем tg⁡2a=sin⁡2acos⁡2a:\operatorname{tg}^2a=\frac{\sin^2a}{\cos^2a}: sin⁡2a−sin⁡2xcos⁡2a−sin⁡2x−sin⁡2acos⁡2a.\frac{\sin^2a-\sin^2x}{\cos^2a-\sin^2x} - \frac{\sin^2a}{\cos^2a}. Приводим к общему знаменателю: =(sin⁡2a−sin⁡2x)cos⁡2a−sin⁡2a(cos⁡2a−sin⁡2x)cos⁡2a(cos⁡2a−sin⁡2x).=
\frac{
(\sin^2a-\sin^2x)\cos^2a
-\sin^2a(\cos^2a-\sin^2x)
}{
\cos^2a(\cos^2a-\sin^2x)
}. Раскрываем числитель и сокращаем одинаковые слагаемые: =sin⁡2x(sin⁡2a−cos⁡2a)cos⁡2a(cos⁡2a−sin⁡2x).=
\frac{
\sin^2x(\sin^2a-\cos^2a)
}{
\cos^2a(\cos^2a-\sin^2x)
}. Отсюда tg⁡(a+x)tg⁡(a−x)−tg⁡2ax2\frac{
\operatorname{tg}(a+x)\operatorname{tg}(a-x)-\operatorname{tg}^2a
}{x^2} =(sin⁡xx)2sin⁡2a−cos⁡2acos⁡2a(cos⁡2a−sin⁡2x).=
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2
\frac{\sin^2a-\cos^2a}
{\cos^2a(\cos^2a-\sin^2x)}. При x→0x\to0: sin⁡xx→1,sin⁡2x→0.\frac{\sin x}{x}\to1, \quad \sin^2x\to0.

Проверка

lim⁡x→0tg⁡(a+x)tg⁡(a−x)−tg⁡2ax2=sin⁡2a−cos⁡2acos⁡4a.\lim_{x\to0}
\frac{
\operatorname{tg}(a+x)\operatorname{tg}(a-x)-\operatorname{tg}^2a
}{x^2}
=
\frac{\sin^2a-\cos^2a}{\cos^4a}
.