Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 520

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 520

lim⁡x→a(sin⁡xsin⁡a)1x−a.\lim_{x\to a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac1{x-a}}.

Опирается на задачу 482

Решение

Идея

Считаем, что sin⁡a≠0\sin a\neq0. Тогда при xx достаточно близких к aa отношение sin⁡xsin⁡a\dfrac{\sin x}{\sin a} положительно и стремится к 11.
Преобразуем основание:sin⁡xsin⁡a=1+sin⁡x−sin⁡asin⁡a.\frac{\sin x}{\sin a}
=
1+\frac{\sin x-\sin a}{\sin a}.Тогда(sin⁡xsin⁡a)1x−a=[(1+sin⁡x−sin⁡asin⁡a)sin⁡asin⁡x−sin⁡a]sin⁡x−sin⁡a(x−a)sin⁡a.\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac1{x-a}}
=
\left[
\left(
1+\frac{\sin x-\sin a}{\sin a}
\right)^{
\frac{\sin a}{\sin x-\sin a}
}
\right]^{
\frac{\sin x-\sin a}{(x-a)\sin a}
}.Положимt=sin⁡x−sin⁡asin⁡a.t=\frac{\sin x-\sin a}{\sin a}.При x→ax\to a имеем t→0t\to0, поэтому первая скобка имеет вид(1+t)1/t→e.(1+t)^{1/t}\to e.

Проверка

Из задачи 482sin⁡x−sin⁡ax−a→cos⁡a.\frac{\sin x-\sin a}{x-a}\to\cos a.Тогдаsin⁡x−sin⁡a(x−a)sin⁡a→cos⁡asin⁡a=ctg⁡a.\frac{\sin x-\sin a}{(x-a)\sin a}
\to
\frac{\cos a}{\sin a}
=
\operatorname{ctg}a.Поэтомуlim⁡x→a(sin⁡xsin⁡a)1x−a=ectg⁡a.\boxed{
\lim_{x\to a}
\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac1{x-a}}
=
e^{\operatorname{ctg}a}
}.
Демидович № 520 — решение