Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 505

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 505

lim⁡x→+∞(sin⁡x+1−sin⁡x).\lim_{x\to+\infty}\left(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}\right).

Решение

Идея

Используем формулу разности синусов: sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2.\sin\alpha-\sin\beta
=
2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. Тогда sin⁡x+1−sin⁡x\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x} =2cos⁡x+1+x2sin⁡x+1−x2.=
2\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}2
\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}2. Рассмотрим разность корней: x+1−x=(x+1)−xx+1+x=1x+1+x→0.\sqrt{x+1}-\sqrt{x}
=
\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
=
\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
\to0. Отсюда x+1−x2→0,\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}2\to0, а значит, sin⁡x+1−x2→0.\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}2\to0.
При этом косинус ограничен: ∣cos⁡x+1+x2∣≤1.\left| \cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}2 \right|\leq1. Все произведение стремится к нулю: lim⁡x→+∞(sin⁡x+1−sin⁡x)=0.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\left(
\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}
\right)
=
0
}.
Демидович № 505 — решение