Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 512

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 512

lim⁡x→∞(x2+1x2−2)x2.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-2}\right)^{x^2}.

Решение

Преобразуем основание:x2+1x2−2=1+3x2−2.\frac{x^2+1}{x^2-2}
=
1+\frac3{x^2-2}.Получаем неопределенность вида 1∞1^\infty. Приведем выражение ко второму замечательному пределу:(1+3x2−2)x2=[(1+3x2−2)x2−23]3x2x2−2.\left(1+\frac3{x^2-2}\right)^{x^2}
=
\left[
\left(1+\frac3{x^2-2}\right)^{\frac{x^2-2}{3}}
\right]^{\frac{3x^2}{x^2-2}}.Положимt=3x2−2.t=\frac3{x^2-2}.При x→∞x\to\infty имеем t→0t\to0, причем(1+3x2−2)x2−23=(1+t)1/t→e.\left(1+\frac3{x^2-2}\right)^{\frac{x^2-2}{3}}
=
(1+t)^{1/t}\to e.Кроме того,3x2x2−2=31−2x2→3.\frac{3x^2}{x^2-2}
=
\frac3{1-\frac2{x^2}}
\to3.Поэтомуlim⁡x→∞(x2+1x2−2)x2=e3.\lim_{x\to\infty}
\left(\frac{x^2+1}{x^2-2}\right)^{x^2}
=
e^3
.