Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 489

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 489

lim⁡x→0cos⁡(a+2x)−2cos⁡(a+x)+cos⁡ax2.\lim_{x\to0}\frac{\cos(a+2x)-2\cos(a+x)+\cos a}{x^2}.

Опирается на задачу 474

Решение

Идея

Рассмотрим числитель: cos⁡(a+2x)−2cos⁡(a+x)+cos⁡a.\cos(a+2x)-2\cos(a+x)+\cos a. Сгруппируем первый и последний члены: cos⁡(a+2x)+cos⁡a−2cos⁡(a+x).\cos(a+2x)+\cos a-2\cos(a+x). Используем формулу суммы косинусов: cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2.\cos\alpha+\cos\beta
=
2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. Для α=a+2x\alpha=a+2x, β=a\beta=a получаем cos⁡(a+2x)+cos⁡a=2cos⁡(a+x)cos⁡x.\cos(a+2x)+\cos a = 2\cos(a+x)\cos x.
Числитель равен 2cos⁡(a+x)cos⁡x−2cos⁡(a+x)=2cos⁡(a+x)(cos⁡x−1).2\cos(a+x)\cos x-2\cos(a+x) = 2\cos(a+x)(\cos x-1).

Отсюда cos⁡(a+2x)−2cos⁡(a+x)+cos⁡ax2=2cos⁡(a+x)cos⁡x−1x2.\frac{\cos(a+2x)-2\cos(a+x)+\cos a}{x^2} = 2\cos(a+x)\frac{\cos x-1}{x^2}. Вынесем знак минус: =−2cos⁡(a+x)1−cos⁡xx2.=
-2\cos(a+x)\frac{1-\cos x}{x^2}. При x→0x\to0 cos⁡(a+x)→cos⁡a,\cos(a+x)\to\cos a, а из задачи 474а 1−cos⁡xx2→12.\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12.

Проверка

lim⁡x→0cos⁡(a+2x)−2cos⁡(a+x)+cos⁡ax2=−2cos⁡a⋅12=−cos⁡a.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\cos(a+2x)-2\cos(a+x)+\cos a}{x^2}
=
-2\cos a\cdot\frac12
=
-\cos a
}.
Демидович № 489 — решение