Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 506

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 506

а) lim⁡x→0(1+x2+x)1−x1−x;б) lim⁡x→1(1+x2+x)1−x1−x;\text{а) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}};\quad
\text{б) }\lim_{x\to1}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}};в) lim⁡x→+∞(1+x2+x)1−x1−x.\text{в) }\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}.

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Из-за наличия x\sqrt{x} рассматриваем x→+0x\to+0.
  2. 2
    Сначала упростим показатель степени. Имеем1−x=(1−x)(1+x).1-x=(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}).При x≠1x\neq11−x1−x=11+x.\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}
    =
    \frac1{1+\sqrt{x}}.    Отсюда(1+x2+x)1−x1−x=(1+x2+x)11+x.\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}
    =
    \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac1{1+\sqrt{x}}}.    При x→+0x\to+01+x2+x→12,11+x→1.\frac{1+x}{2+x}\to\frac12,
    \quad
    \frac1{1+\sqrt{x}}\to1.    Поэтомуlim⁡x→0(1+x2+x)1−x1−x=12.\boxed{
    \lim_{x\to0}
    \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}
    =
    \frac12
    }.
  3. 3

    Пункт б)

    Как и в пункте а),1−x1−x=11+x.\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}
    =
    \frac1{1+\sqrt{x}}.    Тогда(1+x2+x)1−x1−x=(1+x2+x)11+x.\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}
    =
    \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac1{1+\sqrt{x}}}.    При x→1x\to11+x2+x→23,11+x→12.\frac{1+x}{2+x}\to\frac23,
    \quad
    \frac1{1+\sqrt{x}}\to\frac12.    Поэтомуlim⁡x→1(1+x2+x)1−x1−x=(23)1/2=23.\boxed{
    \lim_{x\to1}
    \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}
    =
    \left(\frac23\right)^{1/2}
    =
    \sqrt{\frac23}
    }.

Проверка

Снова используем1−x1−x=11+x.\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}
=
\frac1{1+\sqrt{x}}.Кроме того,1+x2+x=1−1x+2.\frac{1+x}{2+x}
=
1-\frac1{x+2}.Тогда(1+x2+x)1−x1−x=(1−1x+2)11+x.\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}
=
\left(1-\frac1{x+2}\right)^{\frac1{1+\sqrt{x}}}.Приведем выражение ко второму замечательному пределу:(1−1x+2)11+x=[(1−1x+2)−(x+2)]−1(x+2)(1+x).\left(1-\frac1{x+2}\right)^{\frac1{1+\sqrt{x}}}
=
\left[
\left(1-\frac1{x+2}\right)^{-(x+2)}
\right]^{
-\frac1{(x+2)(1+\sqrt{x})}
}.Положимt=−1x+2.t=-\frac1{x+2}.При x→+∞x\to+\infty имеем t→0t\to0, а(1−1x+2)−(x+2)=(1+t)1/t→e.\left(1-\frac1{x+2}\right)^{-(x+2)}
=
(1+t)^{1/t}\to e.При этом−1(x+2)(1+x)→0.-\frac1{(x+2)(1+\sqrt{x})}\to0.Поэтомуlim⁡x→+∞(1+x2+x)1−x1−x=e0=1.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}
=
e^0=1
}.
Демидович № 506 — решение