Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 501

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 501

lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡x3sin⁡2x.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2x}.

Решение

При x→0x\to0 имеем cos⁡x→1\cos x\to1. Представим оба корня через корень шестой степени: cos⁡x=(cos⁡x6)3,cos⁡x3=(cos⁡x6)2.\sqrt{\cos x}=\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^3,
\quad
\sqrt[3]{\cos x}=\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^2. Тогда cos⁡x−cos⁡x3=(cos⁡x6)2(cos⁡x6−1).\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}
=
\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^2
\left(\sqrt[6]{\cos x}-1\right). В знаменателе sin⁡2x=1−cos⁡2x=(1−cos⁡x)(1+cos⁡x).\sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x). Кроме того, по формуле разности шестых степеней 1−cos⁡x=1−(cos⁡x6)61-\cos x = 1-\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^6 =(1−cos⁡x6)[1+cos⁡x6+(cos⁡x6)2+…+(cos⁡x6)5].=
\left(1-\sqrt[6]{\cos x}\right)
\left[
1+\sqrt[6]{\cos x}
+\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^2
+\ldots+
\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^5
\right]. Так как cos⁡x6−1=−(1−cos⁡x6),\sqrt[6]{\cos x}-1 = -\left(1-\sqrt[6]{\cos x}\right), после сокращения получаем cos⁡x−cos⁡x3sin⁡2x\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2x} =−(cos⁡x6)2[1+cos⁡x6+(cos⁡x6)2+…+(cos⁡x6)5](1+cos⁡x).=
-\frac{
\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^2
}{
\left[
1+\sqrt[6]{\cos x}
+\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^2
+\ldots+
\left(\sqrt[6]{\cos x}\right)^5
\right](1+\cos x)
}. При x→0x\to0 cos⁡x6→1.\sqrt[6]{\cos x}\to1. В первой скобке знаменателя имеется шесть слагаемых, каждое из которых стремится к 11, поэтому она стремится к 66, а 1+cos⁡x→2.1+\cos x\to2.
lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡x3sin⁡2x=−16⋅2=−112.\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2x}
=
-\frac1{6\cdot2}
=
-\frac1{12}
.